Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá uma única equação e pede para esboçar a superfície correspondente:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona as coordenadas
do espaço tridimensional. - Não há dependência explícita de
na equação. - A tarefa é esboçar (desenhar/visualizar) a superfície definida por essa equação.
Passo 2
Isolar
para ver a forma mais claramente. A partir de
temos:
Explicando isso em palavras: para cada par
a coordenada
é determinada por
. Observe que a expressão do lado direito depende só de
, não depende de
.
Passo 3
Conseqüência imediata: como
para todo
, segue que
Logo a superfície existe somente para
. Não há pontos com
.
Passo 4
Entenda a geometria olhando cortes (traços) com planos simples. Primeiro trace com planos paralelos ao plano
constante.
Para o plano
(qualquer constante
) fica:
Isto é uma parábola no plano
(o mesmo para todo
). Em cada plano paralelo a
a curva é a mesma parábola com vértice em
. Portanto a superfície é obtida “arrastando” essa parábola ao longo do eixo
.
Passo 5
Traços em planos
constante. Se fixamos
temos
que é um número fixo; como
é livre, a interseção é uma reta paralela ao eixo
situada na altura
e na coordenada
. Em particular, para
obtemos a reta
ou seja, o próprio eixo
(linha de vértices da superfície).
Passo 6
Traços em planos
constante. Se fixamos
então
.
- Se
: nenhum ponto (sem interseção). - Se
: então , logo a interseção é a reta (o eixo ). - Se
: então e é livre; a interseção são duas retas paralelas ao eixo , localizadas em e .
Esses traços mostram bem a forma: para cada nível de altura
a superfície corta duas linhas verticais simétricas em
.
Passo 7
Parâmetrização (útil para visualizar): tomar parâmetros
e
e escrever
com
. Aqui
corresponde a
,
a
, e
é dado por
. Isso deixa claro que a superfície é uma “parabolic cylinder”: a parábola em
(quando
) é propagada em direção ao eixo
.
Passo 8
Resumo geométrico e características principais (modo de falar para a prova):
- Tipo da superfície: cilindro parabólico (também chamado de parabolic cylinder).
- Geração: a parábola
no plano é trasladada paralelamente ao eixo . - Eixos e simetrias: superfície simétrica em relação ao plano
. A linha de vértices é o eixo ( ). - Domínio em
: somente . - Exemplos de pontos úteis para desenhar: para
temos ; para temos ; para temos . Esses pontos, repetidos para vários valores de , ajudam no esboço.
Passo 9
Como esboçar na prática (passo a passo do traço à caneta):
- Desenhe os três eixos:
à direita/esquerda, saindo/entrando (ou horizontal), vertical para cima. - No plano
desenhe a parábola com vértice em . Marque pontos como , , . - A partir dessa parábola, desenhe várias cópias paralelas em direções positivas e negativas de
: isso cria “folhas” verticais que formam o cilindro parabólico. - Para ajudar, desenhe linhas verticais (paralelas a
) passando por e para ver as interseções em níveis de constantes. - Sombreamento leve na parte superior dará sensação de volume; lembre que não há superfície abaixo de
.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico dado por
. É obtida ao deslocar a parábola
(no plano
) ao longo do eixo
; existe somente para
, é simétrica em relação ao plano
e tem como linha de vértices a reta
(o eixo
).