Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
x^{2}=9 z

Passo 1

O enunciado dá uma única equação e pede para esboçar a superfície correspondente:
x^{2}=9 z
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona as coordenadas (x,y,z) do espaço tridimensional.
  • Não há dependência explícita de y na equação.
  • A tarefa é esboçar (desenhar/visualizar) a superfície definida por essa equação.

Passo 2

Isolar z para ver a forma mais claramente. A partir de \;x^{2}=9 z\; temos:
z=\frac{x^{2}}{9}.
Explicando isso em palavras: para cada par (x,y) a coordenada z é determinada por \dfrac{x^{2}}{9}. Observe que a expressão do lado direito depende só de x, não depende de y.

Passo 3

Conseqüência imediata: como x^{2}\ge 0 para todo x, segue que
z=\frac{x^{2}}{9}\ge 0.
Logo a superfície existe somente para \;z\ge 0\;. Não há pontos com z<0.

Passo 4

Entenda a geometria olhando cortes (traços) com planos simples. Primeiro trace com planos paralelos ao plano y= constante.
Para o plano \;y=c (qualquer constante c) fica:
z=\frac{x^{2}}{9}.
Isto é uma parábola no plano xz (o mesmo para todo c). Em cada plano paralelo a y=0 a curva é a mesma parábola com vértice em (x,z)=(0,0). Portanto a superfície é obtida “arrastando” essa parábola ao longo do eixo y.

Passo 5

Traços em planos x= constante. Se fixamos x=x_{0} temos
z=\frac{x_{0}^{2}}{9},
que é um número fixo; como y é livre, a interseção é uma reta paralela ao eixo y situada na altura z=\dfrac{x_{0}^{2}}{9} e na coordenada x=x_{0}. Em particular, para x_{0}=0 obtemos a reta
x=0,\quad z=0,
ou seja, o próprio eixo y (linha de vértices da superfície).

Passo 6

Traços em planos z= constante. Se fixamos z=z_{0} então x^{2}=9 z_{0}.
  • Se z_{0}<0: nenhum ponto (sem interseção).
  • Se z_{0}=0: então x=0, logo a interseção é a reta x=0,\;z=0 (o eixo y).
  • Se z_{0}>0: então x=\pm 3\sqrt{z_{0}} e y é livre; a interseção são duas retas paralelas ao eixo y, localizadas em x=+3\sqrt{z_{0}} e x=-3\sqrt{z_{0}}.
Esses traços mostram bem a forma: para cada nível de altura z>0 a superfície corta duas linhas verticais simétricas em x.

Passo 7

Parâmetrização (útil para visualizar): tomar parâmetros u e v e escrever
\mathbf{r}(u,v)=(u,\;v,\;\tfrac{u^{2}}{9}),
com u,v\in\mathbb{R}. Aqui u corresponde a x, v a y, e z é dado por \tfrac{u^{2}}{9}. Isso deixa claro que a superfície é uma “parabolic cylinder”: a parábola em xz (quando v=0) é propagada em direção ao eixo y.

Passo 8

Resumo geométrico e características principais (modo de falar para a prova):
  • Tipo da superfície: cilindro parabólico (também chamado de parabolic cylinder).
  • Geração: a parábola \;z=\dfrac{x^{2}}{9}\; no plano y=0 é trasladada paralelamente ao eixo y.
  • Eixos e simetrias: superfície simétrica em relação ao plano x=0. A linha de vértices é o eixo y ( x=0,\\ z=0).
  • Domínio em z: somente \;z\ge 0\;.
  • Exemplos de pontos úteis para desenhar: para x=0 temos z=0; para x=3 temos z=1; para x=6 temos z=4. Esses pontos, repetidos para vários valores de y, ajudam no esboço.

Passo 9

Como esboçar na prática (passo a passo do traço à caneta):
  1. Desenhe os três eixos: x à direita/esquerda, y saindo/entrando (ou horizontal), z vertical para cima.
  2. No plano y=0 desenhe a parábola z=\dfrac{x^{2}}{9} com vértice em (0,0,0). Marque pontos como (3,0,1), (-3,0,1), (6,0,4).
  3. A partir dessa parábola, desenhe várias cópias paralelas em direções positivas e negativas de y: isso cria “folhas” verticais que formam o cilindro parabólico.
  4. Para ajudar, desenhe linhas verticais (paralelas a y) passando por (3,0,1) e (-3,0,1) para ver as interseções em níveis de z constantes.
  5. Sombreamento leve na parte superior dará sensação de volume; lembre que não há superfície abaixo de z=0.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico dado por z=\dfrac{x^{2}}{9}. É obtida ao deslocar a parábola z=\dfrac{x^{2}}{9} (no plano y=0) ao longo do eixo y; existe somente para z\ge 0, é simétrica em relação ao plano x=0 e tem como linha de vértices a reta x=0,\\ z=0 (o eixo y).

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