Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
x^{2}+(y-2)^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da superfície dada pela equação x^{2}+(y-2)^{2}=4.
Informações fornecidas:
  • A única equação é x^{2}+(y-2)^{2}=4.
  • As variáveis possíveis são x, y e z (estamos em \mathbb{R}^{3}), e a equação não envolve z.

Passo 2

Observação imediata importante (isso simplifica tudo): a equação não contém z. Quando uma equação em \mathbb{R}^{3} não envolve z, o conjunto de pontos que satisfazem a equação é igual para todo valor de z. Em palavras: o mesmo conjunto no plano xy “repete-se” para todas as alturas z. Esse tipo de superfície é um cilindro (mais precisamente, um cilindro reto cuja geratriz é a direção do eixo z).

Passo 3

Reescrevendo a equação para identificar forma conhecida:
x^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}.
Isto é a equação de um círculo no plano xy com centro em (0,2) e raio 2. Explicando a leitura: a forma (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2} representa um círculo centrado em (x_{0},y_{0}) com raio r. Aqui x_{0}=0, y_{0}=2 e r=2.

Passo 4

Parâmetros úteis para descrever o círculo no plano xy:
x=2\cos t,\qquad y=2+2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Para a superfície em \mathbb{R}^{3} (o cilindro), basta permitir qualquer z:
x=2\cos t,\qquad y=2+2\sin t,\qquad z=u,
com t\in[0,2\pi) e u\in\mathbb{R}. Esse é um parâmetro claro: percorre-se o círculo em cada altura z.

Passo 5

Identificar o eixo do cilindro e outras características geometricamente úteis:
  • Eixo do cilindro: a reta formada pelos centros dos círculos ao longo de z, ou seja a reta
\{(0,2,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
É uma reta paralela ao eixo z, passando pelo ponto (0,2,0).
  • Raio: 2.
  • A superfície é um cilindro circular reto infinito nas duas direções de z.

Passo 6

Interseções com planos coordenados (úteis para desenhar pontos notáveis):
  • Interseção com um plano horizontal z=\text{const} é sempre o mesmo círculo (x-0)^{2}+(y-2)^{2}=4.
  • Interseção com o plano x=0: (y-2)^{2}=4\Rightarrow y=0 ou y=4. Para todo z existem os pontos (0,0,z) e (0,4,z) — isso aparece como duas linhas verticais quando se corta por x=0.
  • Interseção com o plano y=2: x^{2}=4\Rightarrow x=\pm2. Para todo z existem as linhas (\pm2,2,z).
  • Em z=0 (plano horizontal de base) os pontos notáveis do círculo são (0,0,0), (0,4,0) e (\pm2,2,0). Colocar esses pontos no esboço ajuda a posicionar o círculo.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (truques práticos para a prova, sem régua):
  1. Desenhe os eixos x, y (plano) e uma seta para cima para z. Use uma vista oblíqua: x para a direita, y para cima no plano do papel e z para cima em perspectiva.
  2. No plano z=0 desenhe o círculo centrado em (0,2) com raio 2. No esboço em perspectiva ele ficará como uma elipse; marque os pontos (0,0), (0,4) e (\pm2,2).
  3. Repita esse contorno (o mesmo “elipse”) deslocando para cima e para baixo, ou desenhe duas elipses (uma mais próxima, uma atrás) e conecte-as nas laterais por linhas curvas suaves para representar a parede do cilindro.
  4. Trace as arestas posteriores com linha tracejada (para indicar que estão atrás do objeto).
  5. Marque o eixo do cilindro como a reta passando por (0,2) paralela a z.
Dica: se precisar justificar rapidamente, escreva que a equação é independente de z, portanto é um cilindro circular reto de raio 2 com eixo \{(0,2,z)\}.

Passo 8

Resumo conceitual (para gravar na prova): a superfície é o conjunto de todos os pontos cuja projeção no plano xy está no círculo de centro (0,2) e raio 2. Ou seja, a superfície é um cilindro circular reto infinito, com eixo paralelo a z.

Resposta

Cilindro circular reto de raio 2 com eixo a reta \{(0,2,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.

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