Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da superfície dada pela equação
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A única equação é
. - As variáveis possíveis são
, e (estamos em ), e a equação não envolve .
Passo 2
Observação imediata importante (isso simplifica tudo): a equação não contém
. Quando uma equação em
não envolve
, o conjunto de pontos que satisfazem a equação é igual para todo valor de
. Em palavras: o mesmo conjunto no plano
“repete-se” para todas as alturas
. Esse tipo de superfície é um cilindro (mais precisamente, um cilindro reto cuja geratriz é a direção do eixo
).
Passo 3
Reescrevendo a equação para identificar forma conhecida:
Isto é a equação de um círculo no plano
com centro em
e raio
. Explicando a leitura: a forma
representa um círculo centrado em
com raio
. Aqui
,
e
.
Passo 4
Parâmetros úteis para descrever o círculo no plano
:
Para a superfície em
(o cilindro), basta permitir qualquer
:
com
e
. Esse é um parâmetro claro: percorre-se o círculo em cada altura
.
Passo 5
Identificar o eixo do cilindro e outras características geometricamente úteis:
- Eixo do cilindro: a reta formada pelos centros dos círculos ao longo de
, ou seja a reta
É uma reta paralela ao eixo
, passando pelo ponto
.
- Raio:
. - A superfície é um cilindro circular reto infinito nas duas direções de
.
Passo 6
Interseções com planos coordenados (úteis para desenhar pontos notáveis):
- Interseção com um plano horizontal
é sempre o mesmo círculo . - Interseção com o plano
: ou . Para todo existem os pontos e — isso aparece como duas linhas verticais quando se corta por . - Interseção com o plano
: . Para todo existem as linhas . - Em
(plano horizontal de base) os pontos notáveis do círculo são , e . Colocar esses pontos no esboço ajuda a posicionar o círculo.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (truques práticos para a prova, sem régua):
- Desenhe os eixos
, (plano) e uma seta para cima para . Use uma vista oblíqua: para a direita, para cima no plano do papel e para cima em perspectiva. - No plano
desenhe o círculo centrado em com raio . No esboço em perspectiva ele ficará como uma elipse; marque os pontos , e . - Repita esse contorno (o mesmo “elipse”) deslocando para cima e para baixo, ou desenhe duas elipses (uma mais próxima, uma atrás) e conecte-as nas laterais por linhas curvas suaves para representar a parede do cilindro.
- Trace as arestas posteriores com linha tracejada (para indicar que estão atrás do objeto).
- Marque o eixo do cilindro como a reta passando por
paralela a .
Dica: se precisar justificar rapidamente, escreva que a equação é independente de
, portanto é um cilindro circular reto de raio
com eixo
.
Passo 8
Resumo conceitual (para gravar na prova): a superfície é o conjunto de todos os pontos cuja projeção no plano
está no círculo de centro
e raio
. Ou seja, a superfície é um cilindro circular reto infinito, com eixo paralelo a
.
Resposta
Cilindro circular reto de raio
com eixo a reta
.