Determine o ponto de interseção das retas:
  • Reta que passa pelo ponto ( 2,1,0 ) e é paralela ao vetor ( -1,0,2 ).
  • Reta que passa pelo ponto (1,1,2) e é perpendicular ao plano x+y+2 z=1
    Sugestão: Parametrize cada uma das retas antes de comparar seus pontos.

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção entre duas retas no espaço. Informações dadas:
  • Reta 1: passa pelo ponto (2,1,0) e é paralela ao vetor (-1,0,2).
  • Reta 2: passa pelo ponto (1,1,2) e é perpendicular ao plano x+y+2 z=1.
O que precisamos encontrar: um ponto (x,y,z) que pertença simultaneamente às duas retas (se existir). A sugestão do enunciado é parametrizar cada reta e comparar as coordenadas.

Passo 2

Parametrizar uma reta — lembrete rápido e didático: dado um ponto inicial \mathbf{r}_0 e um vetor direção \mathbf{v}, uma parametrização da reta é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v},
onde t é o parâmetro real. Aqui \mathbf{r}(t) representa o ponto genérico (x,y,z) da reta quando se varia t; \mathbf{r}_0 é o ponto conhecido da reta; \mathbf{v} dá a direção da reta.
Usando isso para a Reta 1:
  • Ponto inicial \mathbf{r}_{1,0}=(2,1,0).
  • Vetor direção \mathbf{v}_1=(-1,0,2).
    Logo a parametrização com parâmetro \,t, é
\mathbf{r}_1(t)=(2,1,0)+t(-1,0,2).
Separando coordenadas, obtemos as equações paramétricas da Reta 1:
x=2-t,\qquad y=1,\qquad z=2t.

Passo 3

Agora a Reta 2. Primeiro, como achar a direção de uma reta perpendicular a um plano? Uma reta perpendicular a um plano tem direção igual ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano dado é formado pelos coeficientes de x,y,z na equação do plano x+y+2z=1; então o vetor normal é \mathbf{n}=(1,1,2).
Portanto a Reta 2 tem:
  • Ponto inicial \mathbf{r}_{2,0}=(1,1,2).
  • Vetor direção \mathbf{v}_2=\mathbf{n}=(1,1,2).
    Com parâmetro s, a parametrização é
\mathbf{r}_2(s)=(1,1,2)+s(1,1,2).
Separando coordenadas:
x=1+s,\qquad y=1+s,\qquad z=2+2s.

Passo 4

Para que haja interseção, deve existir um par de parâmetros (t,s) tais que as coordenadas das duas parametrizações coincidam. Igualando as três coordenadas:
2-t = 1+s, \qquad 1 = 1+s, \qquad 2t = 2+2s.
Essas são três equações em duas incógnitas t e s. Se o sistema for compatível (todas as equações consistentes entre si) teremos interseção; caso contrário, não há ponto comum.

Passo 5

Resolver a equação do meio primeiro porque é a mais simples:
1 = 1+s \quad\Rightarrow\quad s=0.
Ótimo — já temos s=0.

Passo 6

Substituir s=0 nas outras equações para achar t e verificar consistência.
Da equação em x:
2-t = 1+0 \quad\Rightarrow\quad 2-t = 1 \quad\Rightarrow\quad t=1.
Da equação em z:
2t = 2+2s \quad\Rightarrow\quad 2t = 2+0 \quad\Rightarrow\quad 2t=2 \quad\Rightarrow\quad t=1.
As duas equações levam ao mesmo valor t=1, então o sistema é compatível e consistente. Isso confirma que existe um ponto comum.

Passo 7

Determinar o ponto substituindo t=1 (ou s=0) numa das parametrizações. Usando a Reta 1:
x=2-t=2-1=1,\qquad y=1,\qquad z=2t=2\cdot1=2.
Portanto o ponto de interseção é (1,1,2).
Observação didática final: note que (1,1,2) é exatamente o ponto dado como pertencente à Reta 2, o que faz sentido: a Reta 1, ao avançar t=1 a partir de (2,1,0) na direção (-1,0,2), chega exatamente em (1,1,2).

Resposta

(1,1,2)

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