Determine o ponto de interseção das retas:
- Reta que passa pelo ponto (
) e é paralela ao vetor (
).
- Reta que passa pelo ponto
e é perpendicular ao plano
Sugestão: Parametrize cada uma das retas antes de comparar seus pontos.
Sugestão: Parametrize cada uma das retas antes de comparar seus pontos.
Passo 1
O enunciado pede o ponto de interseção entre duas retas no espaço. Informações dadas:
- Reta 1: passa pelo ponto
e é paralela ao vetor . - Reta 2: passa pelo ponto
e é perpendicular ao plano .
O que precisamos encontrar: um ponto
que pertença simultaneamente às duas retas (se existir). A sugestão do enunciado é parametrizar cada reta e comparar as coordenadas.
Passo 2
Parametrizar uma reta — lembrete rápido e didático: dado um ponto inicial
e um vetor direção
, uma parametrização da reta é
onde
é o parâmetro real. Aqui
representa o ponto genérico
da reta quando se varia
;
é o ponto conhecido da reta;
dá a direção da reta.
Usando isso para a Reta 1:
- Ponto inicial
. - Vetor direção
.
Logo a parametrização com parâmetro, é
Separando coordenadas, obtemos as equações paramétricas da Reta 1:
Passo 3
Agora a Reta 2. Primeiro, como achar a direção de uma reta perpendicular a um plano? Uma reta perpendicular a um plano tem direção igual ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano dado é formado pelos coeficientes de
na equação do plano
; então o vetor normal é
.
Portanto a Reta 2 tem:
- Ponto inicial
. - Vetor direção
.
Com parâmetro, a parametrização é
Separando coordenadas:
Passo 4
Para que haja interseção, deve existir um par de parâmetros
tais que as coordenadas das duas parametrizações coincidam. Igualando as três coordenadas:
Essas são três equações em duas incógnitas
e
. Se o sistema for compatível (todas as equações consistentes entre si) teremos interseção; caso contrário, não há ponto comum.
Passo 5
Resolver a equação do meio primeiro porque é a mais simples:
Ótimo — já temos
.
Passo 6
Substituir
nas outras equações para achar
e verificar consistência.
Da equação em
:
Da equação em
:
As duas equações levam ao mesmo valor
, então o sistema é compatível e consistente. Isso confirma que existe um ponto comum.
Passo 7
Determinar o ponto substituindo
(ou
) numa das parametrizações. Usando a Reta 1:
Portanto o ponto de interseção é
.
Observação didática final: note que
é exatamente o ponto dado como pertencente à Reta 2, o que faz sentido: a Reta 1, ao avançar
a partir de
na direção
, chega exatamente em
.