Esboce o lugar das raízes do sistema abaixo, mostrando todos os passos necessários para achar os pontos e regiões importantes do esboço:
G(s)=1s^2+7 s+12

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o lugar das raízes (root locus) do sistema de função de transferência
G(s)=1s^2+7s+12
Isso envolve encontrar os polos e zeros abertos, determinar em quais regiões do eixo real aparece o lugar das raízes, calcular assíntotas, pontos de breakaway e checar cruzamento do eixo imaginário.

Passo 2

Identificamos polos e zeros da malha aberta e escrevemos a equação característica.
Os polos são as raízes de s^2+7s+12=0, ou seja
s1=-3, s2=-4,
e não há zeros finitos. Para realimentação unitária com ganho K, a característica é
1+K,G(s)=0 Longrightarrow 1+K(s+3)(s+4)=0
o que leva a
K=-(s+3)(s+4)

Passo 3

Determinamos os trechos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes. Num ponto real s o locus está presente se o número de polos e zeros à direita de s for ímpar.
Para s<-4 há dois polos à direita (mesmo par) Rightarrow não pertence.
Para -4<s<-3 há apenas o polo em -3 à direita (ímpar) Rightarrow pertence.
Para s>-3 não há polos/zeros à direita (par) Rightarrow não pertence.
Logo o locus real fica apenas no segmento
-4 < s < -3

Passo 4

Calculamos as assíntotas do lugar das raízes quando Ktoinfty.
O número de assíntotas é P-Z=2-0=2.
O centro das assíntotas (centroide) é
sigmaa =sum(polos)-sum(zeros)P-Z =(-3)+(-4)-02=-72=-3,5
Os ângulos das assíntotas são dados por
thetak=(2k+1),180^circ2, k=0,1
ou seja theta0=90^circ e theta1=-90^circ.

Passo 5

Para achar o ponto de breakaway no segmento real usamos
K=-(s+3)(s+4),
e impomos dKds=0. Calculando
dKds=-(2s+7)=0 Longrightarrow s=-72=-3,5,
que está dentro de (-4,-3). O valor de ganho nesse ponto é
Krm br = -l(-3,5+3r)l(-3,5+4r) = -(-0,5)(,0,5)=0,25

Passo 6

Verificamos se há cruzamento do eixo imaginário para K>0.
Substituindo s=jomega em s^2+7s+12+K=0 e separando em parte real e imaginária, obtém-se omega=0 e K=-12, que não é admissível. Logo não há cruzamento para K>0.

Passo 7

Reunindo tudo, o esboço do lugar das raízes é:
– Dois pontos iniciais em s=-3 e s=-4.
– Ramificação real unida entre -4 e -3, com breakaway em -3,5 para K=0,25.
– Para K>0,25, os ramos deixam o eixo real em -3,5 e seguem verticalmente para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas de ângulo pm90^circ centradas em -3,5.

Resposta

Polos em -3 e -4; locus real em -4<s<-3; breakaway em s=-3,5 para K=0,25; assíntotas verticais ( pm90^circ) com centro em -3,5; sem cruzamento do eixo imaginário para K>0.

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