Esboce o lugar das raízes do sistema abaixo, mostrando todos os passos necessários para achar os pontos e regiões importantes do esboço:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o lugar das raízes (root locus) do sistema de função de transferência
Isso envolve encontrar os polos e zeros abertos, determinar em quais regiões do eixo real aparece o lugar das raízes, calcular assíntotas, pontos de breakaway e checar cruzamento do eixo imaginário.
Passo 2
Identificamos polos e zeros da malha aberta e escrevemos a equação característica.
Os polos são as raízes de , ou seja
Os polos são as raízes de
e não há zeros finitos. Para realimentação unitária com ganho
, a característica é
o que leva a
Passo 3
Determinamos os trechos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes. Num ponto real
o locus está presente se o número de polos e zeros à direita de
for ímpar.
Para há dois polos à direita (mesmo par)
não pertence.
Para há apenas o polo em
à direita (ímpar)
pertence.
Para não há polos/zeros à direita (par)
não pertence.
Logo o locus real fica apenas no segmento
Para
Para
Para
Logo o locus real fica apenas no segmento
Passo 4
Calculamos as assíntotas do lugar das raízes quando
.
O número de assíntotas é .
O centro das assíntotas (centroide) é
O número de assíntotas é
O centro das assíntotas (centroide) é
Os ângulos das assíntotas são dados por
ou seja
e
.
Passo 5
Para achar o ponto de breakaway no segmento real usamos
e impomos
. Calculando
que está dentro de
. O valor de ganho nesse ponto é
Passo 6
Verificamos se há cruzamento do eixo imaginário para
.
Substituindo em
e separando em parte real e imaginária, obtém-se
e
, que não é admissível. Logo não há cruzamento para
.
Substituindo
Passo 7
Reunindo tudo, o esboço do lugar das raízes é:
– Dois pontos iniciais em e
.
– Ramificação real unida entre e
, com breakaway em
para
.
– Para , os ramos deixam o eixo real em
e seguem verticalmente para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas de ângulo
centradas em
.
– Dois pontos iniciais em
– Ramificação real unida entre
– Para
Resposta
Polos em
e
; locus real em
; breakaway em
para
; assíntotas verticais (
) com centro em
; sem cruzamento do eixo imaginário para
.