Esboce o lugar das raízes para o sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência de ramo direto é dada por:
G(s)=\frac{K\left(s^{2}+1\right)}{s^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: “Esboce o lugar das raízes para o sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência de ramo direto é”
G(s)=\frac{K\left(s^{2}+1\right)}{s^{2}}.
Informações dadas pelo enunciado:
\text{Função de ramo direto: }G(s)=\frac{K\left(s^{2}+1\right)}{s^{2}}.çã
\text{Realimentação: unitária (ganho de realimentação }=1).çãáçã
\text{Ganho variável: }K\text{ (real, parâmetro do lugar das raízes).}áâí
O que se pede: descrever/esboçar o lugar das raízes (root locus) quando K varia.

Passo 2

Vamos identificar os polos e zeros do laço aberto (informação necessária para começar o esboço). Lembre: zeros são as raízes do numerador e polos são as raízes do denominador da função de ramo aberto G(s).
Aqui o numerador é K\left(s^{2}+1\right). As raízes de s^{2}+1=0 são
s=\pm j.
Portanto os zeros são \;s=\;j e \;s=-j.
O denominador é s^{2}. As raízes de s^{2}=0 são
s=0
com multiplicidade 2 (polo duplo em zero).
Resumo (do laço aberto):
\text{Polos: }s=0\text{ (duplo).}
\text{Zeros: }s=\pm j.

Passo 3

Número de ramos do lugar das raízes: é igual ao número de polos do laço aberto (contando multiplicidade). Aqui temos 2 polos (o polo duplo em zero), logo teremos 2 ramos no root locus.

Passo 4

Aplicando a regra do eixo real (para decidir se há ramo sobre o eixo real): um ponto real s pertence ao locus se o número de polos e zeros à direita de s for ímpar.
  • Para s<0 (ponto real negativo), à direita temos os dois polos em s=0 (contagem 2) e os zeros em \pm j não estão no eixo real. Então a contagem é 2 (par) → não está no locus.
  • Para s>0 (eixo real positivo), não há polos/zeros à direita → 0 (par) → não está no locus.
Conclusão: não existem segmentos do lugar das raízes sobre o eixo real.

Passo 5

Asymptotas: o número de assíntotas do locus é igual ao número de polos menos o número de zeros. Aqui polos = 2 e zeros = 2, portanto
2-2=0
assíntotas. Ou seja, não há ramos que vão para o infinito; todos os ramos terminam em zeros finitos (aqui \pm j).

Passo 6

Uma maneira direta e muito elegante de achar o locus é escrever a equação característica do sistema em malha fechada com realimentação unitária:
1+G(s)=0.
Substituindo G(s):
1+\frac{K\left(s^{2}+1\right)}{s^{2}}=0.
Multiplicando por s^{2} (para simplificar):
s^{2}+K\left(s^{2}+1\right)=0.
Agrupando termos:
s^{2}(1+K)+K=0.
Isolando s^{2}:
s^{2}=-\frac{K}{1+K}.
Tomando raiz quadrada (lembrando as duas soluções ±):
s=\pm j\sqrt{\frac{K}{1+K}}.
Esta fórmula dá explicitamente as posições das raízes fechadas em função de K. Cada valor de K produz as duas raízes acima.

Passo 7

Interpretação da expressão \;s=\pm j\sqrt{\dfrac{K}{1+K}}\;:
  • Para K=0: \;s=0. Ou seja, quando K=0 os dois polos fechados estão em s=0 (coincidem com os polos abertos).
  • Para K>0: o quociente \dfrac{K}{1+K} é positivo e varia de 0 (em K=0) até 1 (quando K\to\infty). Logo \sqrt{\dfrac{K}{1+K}} varia de 0 até 1. Assim as raízes fechadas são puramente imaginárias e sua magnitude cresce de 0 até 1 conforme K cresce de 0 até \infty. Ou seja, as duas raízes percorrem o eixo imaginário desde o ponto 0 (origem) até os zeros em s=\pm j.
  • Exemplo numérico (para visualizar): K=0{,}5 \Rightarrow s=\pm j\sqrt{\frac{0{,}5}{1{,}5}}=\pm j\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\pm j0{,}577\ldots
K=1 \Rightarrow s=\pm j\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm j0{,}707\ldots
K=3 \Rightarrow s=\pm j\sqrt{\frac{3}{4}}=\pm j0{,}866\ldots
K\to\infty \Rightarrow s\to\pm j.
Portanto, conforme K aumenta, os dois ramos partem do polo duplo em 0 e se deslocam simetricamente para cima e para baixo ao longo do eixo imaginário, aproximando-se de s=+j e s=-j quando K\to\infty.

Passo 8

Comentário sobre estabilidade (útil para prova): para qualquer K>0 as raízes fechadas são puramente imaginárias (sem parte real) — isto implica comportamento oscilatório marginal (marginalmente estável), e não amortecido (nenhuma raiz tem parte real negativa). Para K entre -1 e 0 a expressão \dfrac{K}{1+K} é negativa e as raízes passam a ser reais simétricas (uma positiva e outra negativa), o que produz instabilidade (polo com parte real positiva). Para K<-1 ambas as partes tornam-se imaginárias novamente (mas geralmente análise de K<0 não é usual no locus padrão quando se busca K>0).

Passo 9

Esboço do lugar das raízes (descrição final que serve para desenhar): desenhe o plano s. Marque os polos abertos em s=0 (dois círculos no zero) e os zeros em s=+j e s=-j (dois xis imaginários). O lugar das raízes consiste em duas curvas que coincidem com o eixo imaginário entre s=0 e s=+j (um ramo) e entre s=0 e s=-j (outro ramo). Para K variando de 0 para \infty, os pontos se deslocam ao longo desses segmentos do centro (origem) até as posições \pm j.

Resposta

Os dois ramos do lugar das raízes ficam sobre o eixo imaginário, movendo-se de s=0 para s=+j e s=-j à medida que K cresce de 0 a \infty. A posição fechada é dada por
s=\pm j\sqrt{\frac{K}{1+K}}.

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