Esboce o lugar das raízes para o sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência de ramo direto é dada por:
Passo 1
O enunciado pede: “Esboce o lugar das raízes para o sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência de ramo direto é”
Informações dadas pelo enunciado:
O que se pede: descrever/esboçar o lugar das raízes (root locus) quando
varia.
Passo 2
Vamos identificar os polos e zeros do laço aberto (informação necessária para começar o esboço). Lembre: zeros são as raízes do numerador e polos são as raízes do denominador da função de ramo aberto
.
Aqui o numerador é
. As raízes de
são
Portanto os zeros são
e
.
O denominador é
. As raízes de
são
com multiplicidade 2 (polo duplo em zero).
Resumo (do laço aberto):
Passo 3
Número de ramos do lugar das raízes: é igual ao número de polos do laço aberto (contando multiplicidade). Aqui temos 2 polos (o polo duplo em zero), logo teremos 2 ramos no root locus.
Passo 4
Aplicando a regra do eixo real (para decidir se há ramo sobre o eixo real): um ponto real
pertence ao locus se o número de polos e zeros à direita de
for ímpar.
- Para
(ponto real negativo), à direita temos os dois polos em (contagem 2) e os zeros em não estão no eixo real. Então a contagem é 2 (par) → não está no locus. - Para
(eixo real positivo), não há polos/zeros à direita → 0 (par) → não está no locus.
Conclusão: não existem segmentos do lugar das raízes sobre o eixo real.
Passo 5
Asymptotas: o número de assíntotas do locus é igual ao número de polos menos o número de zeros. Aqui polos = 2 e zeros = 2, portanto
assíntotas. Ou seja, não há ramos que vão para o infinito; todos os ramos terminam em zeros finitos (aqui
).
Passo 6
Uma maneira direta e muito elegante de achar o locus é escrever a equação característica do sistema em malha fechada com realimentação unitária:
Substituindo
:
Multiplicando por
(para simplificar):
Agrupando termos:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada (lembrando as duas soluções ±):
Esta fórmula dá explicitamente as posições das raízes fechadas em função de
. Cada valor de
produz as duas raízes acima.
Passo 7
Interpretação da expressão
:
- Para
: . Ou seja, quando os dois polos fechados estão em (coincidem com os polos abertos). - Para
: o quociente é positivo e varia de (em ) até (quando ). Logo varia de até . Assim as raízes fechadas são puramente imaginárias e sua magnitude cresce de até conforme cresce de até . Ou seja, as duas raízes percorrem o eixo imaginário desde o ponto (origem) até os zeros em . - Exemplo numérico (para visualizar):
Portanto, conforme
aumenta, os dois ramos partem do polo duplo em
e se deslocam simetricamente para cima e para baixo ao longo do eixo imaginário, aproximando-se de
e
quando
.
Passo 8
Comentário sobre estabilidade (útil para prova): para qualquer
as raízes fechadas são puramente imaginárias (sem parte real) — isto implica comportamento oscilatório marginal (marginalmente estável), e não amortecido (nenhuma raiz tem parte real negativa). Para
entre
e
a expressão
é negativa e as raízes passam a ser reais simétricas (uma positiva e outra negativa), o que produz instabilidade (polo com parte real positiva). Para
ambas as partes tornam-se imaginárias novamente (mas geralmente análise de
não é usual no locus padrão quando se busca
).
Passo 9
Esboço do lugar das raízes (descrição final que serve para desenhar): desenhe o plano
. Marque os polos abertos em
(dois círculos no zero) e os zeros em
e
(dois xis imaginários). O lugar das raízes consiste em duas curvas que coincidem com o eixo imaginário entre
e
(um ramo) e entre
e
(outro ramo). Para
variando de
para
, os pontos se deslocam ao longo desses segmentos do centro (origem) até as posições
.
Resposta
Os dois ramos do lugar das raízes ficam sobre o eixo imaginário, movendo-se de
para
e
à medida que
cresce de
a
. A posição fechada é dada por