Obtenha a função de transferência G(s)=Y(s) / R(s) para cada um dos sistemas a seguir representados no espaço de estados: [Seção: 3.6.] \dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{rrr}3 & -5 & 2 \\\\ 1 & -8 & 7 \\\\ -3 & -6 & 2\end{array}\right] \mathbf{x}+\left[\begin{array}{r}5 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right] r
Não é fornecida nenhuma matriz D, então assumimos D=0.]
Passo 2
Fórmula geral (aquela que vai salvar você na prova): a função de transferência de um sistema no espaço de estados é
G(s) = C\,(sI-A)^{-1}B + D.
Explicando os símbolos:
\begin{aligned} &s \text{ é a variável complexa (Laplace)},\\\ &I \text{ é a matriz identidade }3\times3,\\\ &A,B,C,D &\text{ são as matrizes do espaço de estados (aqui }D=0\text{)},\\\ &(sI-A)^{-1} &\text{ é a inversa da matriz }(sI-A). \end{aligned}éáéãçé
Estratégia prática usada aqui: em vez de calcular explicitamente a inversa (sI-A)^{-1}, vamos calcular \mathbf{v}=(sI-A)^{-1}B resolvendo o sistema linear
(sI-A)\mathbf{v}=B,
e depois calcular G(s)=C\mathbf{v}. Outra opção seria usar adjunta/ determinantes (Cramer) — vamos usar Cramer porque é direto para 3\times3 e produz polinômios no numerador e denominador.
Passo 3
Calculemos a matriz (sI-A). Subtraindo A de sI (coloque s na diagonal e subtraia cada elemento de A):
G(s)=\frac{N(s)}{\Delta(s)}=\frac{23 s^2 -48 s -7}{s^3 +3 s^2 +19 s -133}.
Dica de prova: esse método (resolver (sI-A)\mathbf{v}=B por Cramer ou eliminação) evita calcular a inversa completa e é prático para 3\times3. Se preferir, dá para checar cancelamentos factorizando numerador/denominador, mas aqui não há fator comum óbvio.
Resposta
\displaystyle G(s)=\frac{23 s^{2} - 48 s - 7}{s^{3} + 3 s^{2} + 19 s - 133}