Obtenha a função de transferência G(s)=Y(s) / R(s) para cada um dos sistemas a seguir representados no espaço de estados: [Seção: 3.6.]
\dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{rrr}3 & -5 & 2 \\\\ 1 & -8 & 7 \\\\ -3 & -6 & 2\end{array}\right] \mathbf{x}+\left[\begin{array}{r}5 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right] r
y=\left[\begin{array}{lll} 1 & -4 & 3 \end{array}\right] \mathbf{x}

Passo 1

O problema pede a função de transferência \displaystyle G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)} do sistema dado no espaço de estados. As informações fornecidas são:
\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\,r
com
A = \begin{pmatrix}3 & -5 & 2 \\[4pt] 1 & -8 & 7 \\[4pt] -3 & -6 & 2\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}5 \\[4pt] -3 \\[4pt] 2\end{pmatrix},
e a saída
y = C\mathbf{x}
com
C = \begin{pmatrix}1 & -4 & 3\end{pmatrix}.
Não é fornecida nenhuma matriz D, então assumimos D=0.]

Passo 2

Fórmula geral (aquela que vai salvar você na prova): a função de transferência de um sistema no espaço de estados é
G(s) = C\,(sI-A)^{-1}B + D.
Explicando os símbolos:
\begin{aligned} &s \text{ é a variável complexa (Laplace)},\\\ &I \text{ é a matriz identidade }3\times3,\\\ &A,B,C,D &\text{ são as matrizes do espaço de estados (aqui }D=0\text{)},\\\ &(sI-A)^{-1} &\text{ é a inversa da matriz }(sI-A). \end{aligned}éáéãçé
Estratégia prática usada aqui: em vez de calcular explicitamente a inversa (sI-A)^{-1}, vamos calcular \mathbf{v}=(sI-A)^{-1}B resolvendo o sistema linear
(sI-A)\mathbf{v}=B,
e depois calcular G(s)=C\mathbf{v}. Outra opção seria usar adjunta/ determinantes (Cramer) — vamos usar Cramer porque é direto para 3\times3 e produz polinômios no numerador e denominador.

Passo 3

Calculemos a matriz (sI-A). Subtraindo A de sI (coloque s na diagonal e subtraia cada elemento de A):
sI-A = \begin{pmatrix} s-3 & 5 & -2\\[4pt] -1 & s+8 & -7\\[4pt] 3 & 6 & s-2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrevemos o sistema (sI-A)\mathbf{v}=B. Se \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\\[4pt] v_3\end{pmatrix}, então
\begin{cases} (s-3)v_1 + 5 v_2 -2 v_3 = 5,\\[4pt] - v_1 + (s+8)v_2 -7 v_3 = -3,\\[4pt] 3 v_1 + 6 v_2 + (s-2)v_3 = 2. \end{cases}
E a função de transferência será
G(s)=C\mathbf{v} = v_1 -4 v_2 + 3 v_3.]

Passo 5

Usamos Cramer: v_i = \dfrac{\det(M_i)}{\det(sI-A)}, onde M_i é a matriz (sI-A) com a i-ésima coluna substituída por B. Então
G(s)=\frac{\det(M_1) -4\det(M_2) +3\det(M_3)}{\det(sI-A)}.
Vamos calcular cada determinante como polinômio em s.

Passo 6

Calculemos o determinante do denominador \Delta(s)=\det(sI-A). Expandindo por co-fatores usando a primeira linha:
\Delta(s) = (s-3)\det\begin{pmatrix}s+8 & -7\\[4pt]6 & s-2\end{pmatrix} -5\det\begin{pmatrix}-1 & -7\\[4pt]3 & s-2\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}-1 & s+8\\[4pt]3 & 6\end{pmatrix}.
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}s+8 & -7\\[4pt]6 & s-2\end{pmatrix} = (s+8)(s-2) +42 = s^2 +6s +26,
\det\begin{pmatrix}-1 & -7\\[4pt]3 & s-2\end{pmatrix} = -s +2 +21 = 23 - s,
\det\begin{pmatrix}-1 & s+8\\[4pt]3 & 6\end{pmatrix} = -6 -3(s+8) = -3s -30.
Substituindo:
\Delta(s) = (s-3)(s^2+6s+26) -5(23-s) -2(-3s-30).
Agora expandindo:
(s-3)(s^2+6s+26) = s^3 +3s^2 +8s -78,
-5(23-s) = 5s -115, \qquad -2(-3s-30) = 6s +60.
Somando tudo:
\Delta(s) = s^3 +3s^2 +19s -133.]

Passo 7

Agora \det(M_1): matriz M_1 é (sI-A) com a primeira coluna trocada por B:
M_1=\begin{pmatrix}5 & 5 & -2\\[4pt]-3 & s+8 & -7\\[4pt]2 & 6 & s-2\end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(M_1) = 5\det\begin{pmatrix}s+8 & -7\\[4pt]6 & s-2\end{pmatrix} -5\det\begin{pmatrix}-3 & -7\\[4pt]2 & s-2\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}-3 & s+8\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix}.
Usamos os menores já calculados onde possível:
5(s^2+6s+26) -5(20-3s) + (-2)(-2s-34).
Expandindo:
\det(M_1)=5s^2+30s+130 -100 +15s +4s +68.
Somando termos:
\det(M_1)=5s^2 +49s +98.]

Passo 8

Determinante \det(M_2): matriz M_2 é (sI-A) com a segunda coluna substituída por B:
M_2=\begin{pmatrix}s-3 & 5 & -2\\[4pt]-1 & -3 & -7\\[4pt]3 & 2 & s-2\end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(M_2) = (s-3)\det\begin{pmatrix}-3 & -7\\[4pt]2 & s-2\end{pmatrix} -5\det\begin{pmatrix}-1 & -7\\[4pt]3 & s-2\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}.
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}-3 & -7\\[4pt]2 & s-2\end{pmatrix} = 20 -3s,
\det\begin{pmatrix}-1 & -7\\[4pt]3 & s-2\end{pmatrix} = 23 - s,
\det\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} = 7.
Substituindo e expandindo:
\det(M_2) = (s-3)(20-3s) -5(23-s) -2\cdot7.
(s-3)(20-3s) = -3s^2 +29s -60, \quad -5(23-s)=5s-115, \quad -14 \text{ (último termo)}.ú
Somando:
\det(M_2) = -3s^2 +34s -189.]

Passo 9

Determinante \det(M_3): matriz M_3 é (sI-A) com a terceira coluna substituída por B:
M_3=\begin{pmatrix}s-3 & 5 & 5\\[4pt]-1 & s+8 & -3\\[4pt]3 & 6 & 2\end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(M_3) = (s-3)\det\begin{pmatrix}s+8 & -3\\[4pt]6 & 2\end{pmatrix} -5\det\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} +5\det\begin{pmatrix}-1 & s+8\\[4pt]3 & 6\end{pmatrix}.
Menores:
\det\begin{pmatrix}s+8 & -3\\[4pt]6 & 2\end{pmatrix} = 2s+34, \quad \det\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} = 7, \quad \det\begin{pmatrix}-1 & s+8\\[4pt]3 & 6\end{pmatrix} = -3s -30.
Substituindo e expandindo:
\det(M_3) = (s-3)(2s+34) -5\cdot7 +5(-3s-30).
(s-3)(2s+34)=2s^2+28s-102, \quad -35, \quad -15s-150.
Somando:
\det(M_3) = 2s^2 +13s -287.]

Passo 10

Agora o numerador N(s) é
N(s) = \det(M_1) -4\det(M_2) +3\det(M_3).
Substituindo os polinômios:
\begin{aligned} \det(M_1) &= 5s^2 +49s +98,\\[4pt] -4\det(M_2) &= -4(-3s^2 +34s -189) = 12s^2 -136s +756,\\[4pt] 3\det(M_3) &= 3(2s^2 +13s -287) = 6s^2 +39s -861. \end{aligned}
Somando coeficientes:
N(s) = (5+12+6)s^2 + (49-136+39)s + (98+756-861).
N(s) = 23 s^2 -48 s -7.]

Passo 11

Finalmente a função de transferência é
G(s)=\frac{N(s)}{\Delta(s)}=\frac{23 s^2 -48 s -7}{s^3 +3 s^2 +19 s -133}.
Dica de prova: esse método (resolver (sI-A)\mathbf{v}=B por Cramer ou eliminação) evita calcular a inversa completa e é prático para 3\times3. Se preferir, dá para checar cancelamentos factorizando numerador/denominador, mas aqui não há fator comum óbvio.

Resposta

\displaystyle G(s)=\frac{23 s^{2} - 48 s - 7}{s^{3} + 3 s^{2} + 19 s - 133}

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