Escreva a função de transferência do controlador PD com base nos valores ajustados para k_{p} e k_{d}.
C(s)=k_{d} s+k_{p}=k_{p}\left(1+\frac{k_{d}}{k_{p}} s\right)

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função de transferência do controlador PD usando os valores ajustados de k_{p} e k_{d}. As informações que temos são:
  • A forma dada do controlador: C(s)=k_{d}\,s+k_{p}.
  • Uma forma equivalente já apresentada: C(s)=k_{p}\left(1+\frac{k_{d}}{k_{p}}\,s\right).

Passo 2

Vamos manipular a expressão dada passo a passo (álgebra básica) para colocá-la numa forma padrão, útil na prova. Partimos de
C(s)=k_{d}\,s+k_{p}.
Fatorando k_{p} (ou seja, colocando k_{p} em evidência) fazemos as contas assim: dividir cada termo por k_{p} dentro do parêntese dá
C(s)=k_{p}\left(\frac{k_{d}\,s}{k_{p}}+1\right).
Reescrevendo a soma na ordem mais comum (termo constante depois do 1) obtemos
C(s)=k_{p}\left(1+\frac{k_{d}}{k_{p}}\,s\right).

Passo 3

Agora introduzimos uma notação que é muito usada em provas e facilita interpretação: definimos o tempo derivativo \tau_{d} como
\tau_{d}=\frac{k_{d}}{k_{p}}.
Explicando isso de forma direta: \tau_{d} é a razão entre o ganho derivativo e o ganho proporcional; tem dimensão de tempo (dependendo das unidades das grandezas controladas) e torna a forma do controlador mais clara. Substituindo \tau_{d} na expressão do passo anterior chegamos à forma padrão
C(s)=k_{p}\left(1+\tau_{d}\,s\right).

Passo 4

Vou explicar o significado de cada termo para você saber o que interpretar na prova:
  • k_{p} é o ganho proporcional: multiplica o erro diretamente e ajusta a ação base do controlador.
  • \tau_{d} (ou, equivalentemente, k_{d}) representa a ação sobre a derivada do erro; em k_{d}\,s o s significa “derivada no domínio de Laplace” e o coeficiente k_{d} é o ganho dessa derivada.
  • A forma k_{p}(1+\tau_{d}s) é útil porque mostra claramente um ganho global k_{p} e um termo aditivo proporcional à derivada, escalado por \tau_{d}.

Passo 5

Exemplo numérico didático (mostra como aplicar no tempo de prova): suponha que em uma regulagem você obteve k_{p}=4 e k_{d}=1. Substituindo:
C(s)=k_{d}\,s+k_{p}=1\cdot s+4=s+4.
Fatorando k_{p}=4:
C(s)=4\left(1+\frac{1}{4}s\right)=4\left(1+0,25\,s\right),
ou seja \tau_{d}=0,25. Assim, se o professor pedir a forma padronizada, você já sabe fazer: calcular \tau_{d}=\frac{k_{d}}{k_{p}} e escrever k_{p}(1+\tau_{d}s).

Passo 6

Observação prática importante para a prova (curtinha e útil): na implementação real costuma-se filtrar o termo derivativo para não amplificar ruído alto-frequência. Uma forma comum é usar um filtro de primeira ordem e escrever, por exemplo,
C(s)=k_{p}\left(1+\frac{\tau_{d}\,s}{1+\tau_{f}\,s}\right),
onde \tau_{f} é um tempo de filtro pequeno. Isso não altera a ideia básica pedida na questão, mas é bom mencionar se a prova perguntar sobre robustez ou implementação.

Resposta

C(s)=k_{d}\,s+k_{p}
C(s)=k_{p}\left(1+\tau_{d}\,s\right), com \tau_{d}=\dfrac{k_{d}}{k_{p}}.

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