Esboce o mapa de contorno da função f(x, y)=y /\left(x^{2}-y^{2}\right) (Stewart 14.1.49) para k=-1,0,1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.\n
  • A função dada é f(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}-y^{2}}.\n
  • Pede-se o esboço do mapa de contorno (curvas de nível) para as constantes k=-1, k=0 e k=1.\n
  • Informação importante do enunciado (implícita): as curvas de nível são os conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=k\}. Note que a função não está definida quando x^{2}-y^{2}=0 (ou seja, nas retas x=\pm y), portanto essas retas estão fora do domínio e não podem pertencer às curvas de nível.

Passo 2

Equação geral das curvas de nível e domínio.\n
  • A equação de nível é \dfrac{y}{x^{2}-y^{2}}=k. Multiplicando o denominador (lembrando de checar depois se não geramos pontos inválidos), obtemos
y = k\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
  • Reorganizando como uma equação quadrática em y (isso vale para k\neq0):
k y^{2} + y - k x^{2} = 0.
  • Para k\neq0 podemos usar a fórmula quadrática para y:
y=\frac{-1\pm\sqrt{1+4k^{2}x^{2}}}{2k}.
Essa expressão mostra que, para cada x, há no máximo duas y (duas ramificações), e a raiz está sempre bem definida porque o discriminante é 1+4k^{2}x^{2}\ge 1.\n
  • Lembrete de domínio: durante todo o raciocínio deve-se excluir pontos onde x^{2}-y^{2}=0 porque a função não está definida ali.

Passo 3

Caso k=0.\n
  • Originalmente \dfrac{y}{x^{2}-y^{2}}=0 ocorre quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero). Logo \,y=0 e ao mesmo tempo x^{2}-0\neq0, isto é x\neq0.\n
  • Portanto a curva de nível para k=0 é a porção do eixo x com x\neq0: a reta \,y=0 com a observação de que o ponto (0,0) está fora do domínio (porque ali x^{2}-y^{2}=0).\n
  • Conclusão prática para o esboço: trace o eixo x (reta y=0) e deixe um buraco/exclusão no ponto (0,0).

Passo 4

Caso k=1: encontrar a forma geométrica e elementos chave.\n
  • Substituindo k=1 na equação geral obtemos
x^{2}-y^{2}-y=0.
  • Completa-se o quadrado em y. Escrevendo -y^{2}-y = -\bigl(y^{2}+y\bigr) e completando:
x^{2} - \bigl(y^{2}+y\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} - \Bigl(\bigl(y+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)=0.
  • Isolando, obtemos a forma padrão
\bigl(y+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - x^{2} = \tfrac{1}{4}.
  • Interpretação geométrica: isto é uma hipérbole centrada em \bigl(0,-\tfrac{1}{2}\bigr) com equação no formato \dfrac{(y+1/2)^{2}}{(1/4)} - \dfrac{x^{2}}{(1/4)}=1. A hipérbole tem assimetria vertical (o termo positivo é o quadrado em y), ou seja as duas ramificações ficam acima e abaixo do centro ao longo do eixo vertical.\n
  • Assíntotas da hipérbole: as retas que a hipérbole aproxima são obtidas zerando o termo constante:
y+\tfrac{1}{2} = \pm x \quad\Rightarrow\quad y = -\tfrac{1}{2} \pm x.
  • Vértices (pontos de menor distância ao centro no eixo x=0): tomar x=0 na equação completa dá \bigl(y+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{4}, então y=0 ou y=-1. Contudo y=0 corresponde ao ponto (0,0) que não pertence ao domínio da função porque ali x^{2}-y^{2}=0. Logo o único vértice válido é (0,-1).\n
  • Resumo para o esboço: desenhar a hipérbole centrada em \bigl(0,-\tfrac{1}{2}\bigr) com assíntotas y=-\tfrac{1}{2}\pm x, duas ramificações simétricas em relação ao eixo y, com o vértice válido em (0,-1). Marcar que (0,0) é excluído (buraco).

Passo 5

Caso k=-1: forma e elementos chave (procedimento análogo a k=1).\n
  • Substituindo k=-1 na equação geral obtemos
- x^{2} + y^{2} - y = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2} - y^{2} + y = 0.
  • Completa-se o quadrado em y:
x^{2} - \bigl(y^{2}-y\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} - \Bigl(\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)=0,
ou seja
\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - x^{2} = \tfrac{1}{4}.
  • Interpretando: outra hipérbole, agora centrada em \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr), com mesma escala, forma similar à do caso k=1 (positivo no termo em y e negativo no x^{2}).\n
  • Assíntotas:
y-\tfrac{1}{2} = \pm x \quad\Rightarrow\quad y = \tfrac{1}{2} \pm x.
  • Vértices: tomar x=0 \bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{4} levando a y=1 ou y=0. O ponto y=0 corresponde a (0,0) que novamente é excluído por estar fora do domínio. Assim o vértice válido é (0,1).\n
  • Resumo para o esboço: desenhar a hipérbole centrada em \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr) com assíntotas y=\tfrac{1}{2}\pm x, dois ramos simétricos, vértice válido em (0,1), e marcar (0,0) como ponto excluído.

Passo 6

Observações práticas sobre o esboço conjunto (mapa de contorno) e dicas para desenhar à mão na prova.\n
  • Primeiro desenhe as duas retas de domínio proibido x=\pm y (essas são linhas onde a função não está definida). Elas cortam o plano em diagonais.\n
  • Depois trace a curva y=0 (eixo x) como a curva de nível para k=0, deixando um pequeno furinho no (0,0).\n
  • Para k=1: desenhe o centro \bigl(0,-\tfrac{1}{2}\bigr), as assíntotas y=-\tfrac{1}{2}\pm x e a hipérbole que se aproxima dessas assíntotas, com o vértice em (0,-1). Lembre-se que a hipérbole tem duas ramificações (uma acima do centro, outra abaixo), simétricas em relação ao eixo y.\n
  • Para k=-1: desenhe o centro \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr), as assíntotas y=\tfrac{1}{2}\pm x e a hipérbole correspondente com vértice em (0,1).\n
  • Verifique assimptoticamente: para grandes |x| as curvas de k=\pm1 aproximam as retas indicadas (slope \pm1 deslocadas verticalmente), e para k=0 a curva é o eixo x (com exclusão do ponto (0,0)).\n
  • Dica prática: marque pontos chave (centros, vértices, assíntotas) e esboce suavemente as ramificações aproximando-as das assíntotas.

Resposta

k=0: a curva de nível é a reta y=0 com x\neq0 (ou seja, o eixo x exceto o ponto (0,0)).\n
k=1: hipérbole dada por \bigl(y+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-x^{2}=\tfrac{1}{4}, centrada em \bigl(0,-\tfrac{1}{2}\bigr), com assíntotas y=-\tfrac{1}{2}\pm x e vértice válido em (0,-1) (o ponto (0,0) está fora do domínio).\n
k=-1: hipérbole dada por \bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-x^{2}=\tfrac{1}{4}, centrada em \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr), com assíntotas y=\tfrac{1}{2}\pm x e vértice válido em (0,1) (o ponto (0,0) está fora do domínio).

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