Esboce o mapa de contorno da função
(Stewart 14.1.49) para
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.\n
- A função dada é
.\n - Pede-se o esboço do mapa de contorno (curvas de nível) para as constantes
, e .\n - Informação importante do enunciado (implícita): as curvas de nível são os conjuntos
. Note que a função não está definida quando (ou seja, nas retas ), portanto essas retas estão fora do domínio e não podem pertencer às curvas de nível.
Passo 2
Equação geral das curvas de nível e domínio.\n
- A equação de nível é
. Multiplicando o denominador (lembrando de checar depois se não geramos pontos inválidos), obtemos
- Reorganizando como uma equação quadrática em
(isso vale para ):
- Para
podemos usar a fórmula quadrática para :
Essa expressão mostra que, para cada
, há no máximo duas
(duas ramificações), e a raiz está sempre bem definida porque o discriminante é
.\n
- Lembrete de domínio: durante todo o raciocínio deve-se excluir pontos onde
porque a função não está definida ali.
Passo 3
Caso
.\n
- Originalmente
ocorre quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero). Logo e ao mesmo tempo , isto é .\n - Portanto a curva de nível para
é a porção do eixo com : a reta com a observação de que o ponto está fora do domínio (porque ali ).\n - Conclusão prática para o esboço: trace o eixo
(reta ) e deixe um buraco/exclusão no ponto .
Passo 4
Caso
: encontrar a forma geométrica e elementos chave.\n
- Substituindo
na equação geral obtemos
- Completa-se o quadrado em
. Escrevendo e completando:
- Isolando, obtemos a forma padrão
- Interpretação geométrica: isto é uma hipérbole centrada em
com equação no formato . A hipérbole tem assimetria vertical (o termo positivo é o quadrado em ), ou seja as duas ramificações ficam acima e abaixo do centro ao longo do eixo vertical.\n - Assíntotas da hipérbole: as retas que a hipérbole aproxima são obtidas zerando o termo constante:
- Vértices (pontos de menor distância ao centro no eixo
): tomar na equação completa dá , então ou . Contudo corresponde ao ponto que não pertence ao domínio da função porque ali . Logo o único vértice válido é .\n - Resumo para o esboço: desenhar a hipérbole centrada em
com assíntotas , duas ramificações simétricas em relação ao eixo , com o vértice válido em . Marcar que é excluído (buraco).
Passo 5
Caso
: forma e elementos chave (procedimento análogo a
).\n
- Substituindo
na equação geral obtemos
- Completa-se o quadrado em
:
ou seja
- Interpretando: outra hipérbole, agora centrada em
, com mesma escala, forma similar à do caso (positivo no termo em e negativo no ).\n - Assíntotas:
- Vértices: tomar
dá levando a ou . O ponto corresponde a que novamente é excluído por estar fora do domínio. Assim o vértice válido é .\n - Resumo para o esboço: desenhar a hipérbole centrada em
com assíntotas , dois ramos simétricos, vértice válido em , e marcar como ponto excluído.
Passo 6
Observações práticas sobre o esboço conjunto (mapa de contorno) e dicas para desenhar à mão na prova.\n
- Primeiro desenhe as duas retas de domínio proibido
(essas são linhas onde a função não está definida). Elas cortam o plano em diagonais.\n - Depois trace a curva
(eixo ) como a curva de nível para , deixando um pequeno furinho no .\n - Para
: desenhe o centro , as assíntotas e a hipérbole que se aproxima dessas assíntotas, com o vértice em . Lembre-se que a hipérbole tem duas ramificações (uma acima do centro, outra abaixo), simétricas em relação ao eixo .\n - Para
: desenhe o centro , as assíntotas e a hipérbole correspondente com vértice em .\n - Verifique assimptoticamente: para grandes
as curvas de aproximam as retas indicadas (slope deslocadas verticalmente), e para a curva é o eixo (com exclusão do ponto ).\n - Dica prática: marque pontos chave (centros, vértices, assíntotas) e esboce suavemente as ramificações aproximando-as das assíntotas.