Questão 5 - Considere uma determinada substância radioativa em decomposição que apresenta uma massa inicial igual a 1,5 gramas. Experimentos físicos mostram que, a cada instante
(dado em minutos), uma substância radioativa se decompõe segundo uma taxa proporcional à quantidade dela presente e que após 5 min , a massa reduz
. Com base nessas informações, determine:
(
pts) (a) A equação que define a massa
para um
qualquer em minutos.
(
pts) (b) A meia-vida da substância (
quando
é
da massa inicial).
(
(
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
-
Dados fornecidos:
- Massa inicial:
gramas. - A taxa de decomposição é proporcional à quantidade presente (isso implica uma lei exponencial).
- Após
minutos a massa reduz . Ou seja, gramas.
- Massa inicial:
-
Perguntas do enunciado:
- (a) Determinar a equação que define a massa
para um qualquer (em minutos). - (b) Determinar a meia-vida da substância (valor de
tal que é da massa inicial).
- (a) Determinar a equação que define a massa
Passo 2
Modelagem matemática (por que usamos isso):
Quando a taxa de variação da massa é proporcional à massa presente, isso se escreve como uma equação diferencial do tipo
onde:
-
é a massa em gramas no instante (minutos), -
é a constante de proporcionalidade (unidade: ). Se temos decaimento; se crescimento.
Agora vamos resolver essa equação diferencial para obter
.
Passo 3
Resolução da equação diferencial (passo a passo, sem pular etapas):
Partimos de
Separamos variáveis dividindo por
e multiplicando por
:
Integramos ambos os lados:
A integral de
é
e a integral de
em relação a
é
, então obtemos
onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante positiva. Usando a condição inicial
, temos
Portanto a solução geral com a constante ajustada é
Passo 4
Determinar a constante
usando a informação de que após
minutos a massa ficou
g:
Substituindo
em
:
Dividindo por
:
Aplicando o logaritmo natural:
logo
Numérica e aproximadamente,
Passo 5
Escrever a equação final para
. Substituindo
em
obtemos duas formas equivalentes úteis:
Forma exponencial com
:
Forma em potência (às vezes mais intuitiva, porque mostra a redução por blocos de
minutos):
Ambas descrevem a mesma lei de decaimento. A segunda sai da identidade
.
Passo 6
Cálculo da meia-vida (definição e resolução):
Meia-vida
é o tempo em que
g. Partimos da equação
Dividindo por
:
Aplicando logaritmo natural:
Logo
Substituindo
obtemos a forma conveniente
Agora a parte numérica (ambos os logaritmos são negativos, o quociente é positivo):
Arredondando de forma prática, a meia-vida é aproximadamente
minutos.
Observação intuitiva: como a cada
minutos fica
da massa anterior, depois de
blocos de
minutos fica
. Queremos
, então
blocos de
min, o que dá
min — mesma conta, outro jeito de pensar.
Resposta
(a)
(b)