Questão 5 - Considere uma determinada substância radioativa em decomposição que apresenta uma massa inicial igual a 1,5 gramas. Experimentos físicos mostram que, a cada instante t (dado em minutos), uma substância radioativa se decompõe segundo uma taxa proporcional à quantidade dela presente e que após 5 min , a massa reduz 10 \%. Com base nessas informações, determine:
( \mathbf{0 , 4} pts) (a) A equação que define a massa M para um t qualquer em minutos.
( \mathbf{0 , 1} pts) (b) A meia-vida da substância ( t quando M(t) é 50 \% da massa inicial).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Massa inicial: M(0)=1{,}5 gramas.
    • A taxa de decomposição é proporcional à quantidade presente (isso implica uma lei exponencial).
    • Após 5 minutos a massa reduz 10\%. Ou seja, M(5)=0{,}9\cdot 1{,}5=1{,}35 gramas.
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Determinar a equação que define a massa M para um t qualquer (em minutos).
    • (b) Determinar a meia-vida da substância (valor de t tal que M(t) é 50\% da massa inicial).

Passo 2

Modelagem matemática (por que usamos isso):
Quando a taxa de variação da massa é proporcional à massa presente, isso se escreve como uma equação diferencial do tipo
\frac{dM}{dt}=k\,M,
onde:
  • M=M(t) é a massa em gramas no instante t (minutos),
  • k é a constante de proporcionalidade (unidade: \text{min}^{-1}). Se k<0 temos decaimento; se k>0 crescimento.
Agora vamos resolver essa equação diferencial para obter M(t).

Passo 3

Resolução da equação diferencial (passo a passo, sem pular etapas):
Partimos de
\frac{dM}{dt}=kM.
Separamos variáveis dividindo por M e multiplicando por dt:
\frac{dM}{M}=k\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dM}{M}=\int k\,dt.
A integral de \frac{1}{M} é \ln|M| e a integral de k em relação a t é kt, então obtemos
\ln|M|=kt+C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
M(t)=C_1 e^{kt},
onde C_1=e^{C} é uma constante positiva. Usando a condição inicial M(0)=1{,}5, temos
M(0)=C_1 e^{k\cdot 0}=C_1=1{,}5.
Portanto a solução geral com a constante ajustada é
M(t)=1{,}5\,e^{kt}.

Passo 4

Determinar a constante k usando a informação de que após 5 minutos a massa ficou 1{,}35 g:
Substituindo t=5 em M(t):
1{,}35=1{,}5\,e^{5k}.
Dividindo por 1{,}5:
e^{5k}=0{,}9.
Aplicando o logaritmo natural:
5k=\ln(0{,}9),
logo
k=\frac{1}{5}\ln(0{,}9).
Numérica e aproximadamente,
\ln(0{,}9)\approx -0{,}1053605, \qquad k\approx -0{,}0210721\\ \text{min}^{-1}.

Passo 5

Escrever a equação final para M(t). Substituindo k em M(t)=1{,}5\,e^{kt} obtemos duas formas equivalentes úteis:
Forma exponencial com k:
M(t)=1{,}5\exp\!\biggl(t\cdot\frac{\ln(0{,}9)}{5}\biggr).
Forma em potência (às vezes mais intuitiva, porque mostra a redução por blocos de 5 minutos):
M(t)=1{,}5\cdot\bigl(0{,}9\bigr)^{t/5}.
Ambas descrevem a mesma lei de decaimento. A segunda sai da identidade e^{(\ln 0{,}9)\,t/5}=(0{,}9)^{t/5}.

Passo 6

Cálculo da meia-vida (definição e resolução):
Meia-vida t_{1/2} é o tempo em que M(t_{1/2})=\tfrac{1}{2}M(0)=0{,}75 g. Partimos da equação
1{,}5\,e^{k t_{1/2}}=0{,}75.
Dividindo por 1{,}5:
e^{k t_{1/2}}=0{,}5.
Aplicando logaritmo natural:
k t_{1/2}=\ln(0{,}5).
Logo
t_{1/2}=\frac{\ln(0{,}5)}{k}.
Substituindo k=\dfrac{1}{5}\ln(0{,}9) obtemos a forma conveniente
t_{1/2}=5\cdot\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)}.
Agora a parte numérica (ambos os logaritmos são negativos, o quociente é positivo):
\ln(0{,}5)\approx -0{,}6931472,\qquad \ln(0{,}9)\approx -0{,}1053605,
\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)}\approx 6{,}5797363,
t_{1/2}\approx 5\times 6{,}5797363 \approx 32{,}8987\\ \text{min}.
Arredondando de forma prática, a meia-vida é aproximadamente 32{,}9 minutos.
Observação intuitiva: como a cada 5 minutos fica 90\% da massa anterior, depois de n blocos de 5 minutos fica 0{,}9^{n}. Queremos 0{,}9^{n}=0{,}5, então n=\dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)}\approx 6{,}58 blocos de 5 min, o que dá 6{,}58\times 5\approx 32{,}9 min — mesma conta, outro jeito de pensar.

Resposta

(a) M(t)=1{,}5\exp\!\biggl(t\cdot\frac{\ln(0{,}9)}{5}\biggr)=1{,}5\cdot\bigl(0{,}9\bigr)^{t/5}.
(b) t_{1/2}=5\cdot\dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)}\approx 32{,}9\\ \text{min}.

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