encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial;
determinar o intervalo de existência dessa solução (o maior intervalo em torno de 0 onde a solução está bem definida).
Informações relevantes dadas:
a derivada é y'=\dfrac{dy}{dx};
a equação é do tipo em que os termos envolvendo y e x aparecem multiplicativamente, o que sugere separação de variáveis;
a condição inicial é y(0)=-1, portanto y não é zero no ponto inicial.]
Passo 2
Vamos separar variáveis. Separar variáveis significa escrever a equação de forma que todos os fatores contendo y fiquem de um lado com dy e todos os fatores contendo x fiquem do outro lado com dx.
Partimos de
y'=\dfrac{x\,y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} e dividindo ambos os lados por y^{3} (isso é válido perto do ponto inicial porque y(0)=-1\neq0), obtemos
Igualando as primitivas (absorvendo constantes numa constante única C), obtemos
-\dfrac{1}{2y^{2}}=\sqrt{1+x^{2}}+C.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=-1 para determinar C. Em x=0 temos \sqrt{1+0^{2}}=1 e y(0)=-1 dá -\dfrac{1}{2(-1)^{2}}=-\dfrac{1}{2}. Substituindo:
Manipulamos essa expressão para isolar y. Multiplicando ambos os lados por -2 obtemos
\dfrac{1}{y^{2}}=3-2\sqrt{1+x^{2}}.
Invertendo (lembrando que isso exige que o lado direito seja positivo) temos
y^{2}=\dfrac{1}{\,3-2\sqrt{1+x^{2}}\,}.
Tomando a raiz quadrada, existem duas possibilidades y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+x^{2}}}}. Como a condição inicial impõe y(0)=-1 (negativo), escolhemos o ramo negativo:
y(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+x^{2}}}}.
Passo 6
Agora determinamos o intervalo de existência. A expressão para y^{2} exige que o denominador seja estritamente positivo:
Isto significa que a solução obtida está bem definida e finita para todo x com -\dfrac{\sqrt{5}}{2}<x<\dfrac{\sqrt{5}}{2}. Nos extremos x=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2} temos 3-2\sqrt{1+x^{2}}=0, então y^{2}\to\infty e a solução explode (não é possível continuar a solução de forma contínua além desses pontos). Portanto o maior intervalo de existência (intervalo maximal contendo 0) é