(2,0 pontos) Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=\frac{x y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}, \\\ y(0)=-1 \end{array}\right.
e determine o intervalo no qual a solução existe.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} y'=\dfrac{x\,y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}},\\[6pt] y(0)=-1. \end{array}\right.
O que se pede:
  • encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial;
  • determinar o intervalo de existência dessa solução (o maior intervalo em torno de 0 onde a solução está bem definida).
Informações relevantes dadas:
  • a derivada é y'=\dfrac{dy}{dx};
  • a equação é do tipo em que os termos envolvendo y e x aparecem multiplicativamente, o que sugere separação de variáveis;
  • a condição inicial é y(0)=-1, portanto y não é zero no ponto inicial.]

Passo 2

Vamos separar variáveis. Separar variáveis significa escrever a equação de forma que todos os fatores contendo y fiquem de um lado com dy e todos os fatores contendo x fiquem do outro lado com dx.
Partimos de
y'=\dfrac{x\,y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} e dividindo ambos os lados por y^{3} (isso é válido perto do ponto inicial porque y(0)=-1\neq0), obtemos
\dfrac{1}{y^{3}}\,dy=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: funções de y com dy à esquerda e funções de x com dx à direita.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Vou mostrar o cálculo de cada integral passo a passo.
Integração do lado esquerdo:
\int \dfrac{1}{y^{3}}\,dy=\int y^{-3}\,dy.
Usa-se a regra \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1). Aqui n=-3, então
\int y^{-3}\,dy=\dfrac{y^{-2}}{-2}=-\dfrac{1}{2y^{2}} + C_1.
Integração do lado direito:
\int \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Fazemos a substituição u=1+x^{2}, então du=2x\,dx, ou x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx=\int \dfrac{1}{\sqrt{u}}\cdot\dfrac{du}{2}=\dfrac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du=\dfrac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}=u^{1/2}.
Voltando a x,
\int \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx=\sqrt{1+x^{2}} + C_2.

Passo 4

Igualando as primitivas (absorvendo constantes numa constante única C), obtemos
-\dfrac{1}{2y^{2}}=\sqrt{1+x^{2}}+C.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=-1 para determinar C. Em x=0 temos \sqrt{1+0^{2}}=1 e y(0)=-1 -\dfrac{1}{2(-1)^{2}}=-\dfrac{1}{2}. Substituindo:
-\dfrac{1}{2}=1+C \quad\Rightarrow\quad C=-\dfrac{3}{2}.
Portanto a relação explícita entre y e x é
-\dfrac{1}{2y^{2}}=\sqrt{1+x^{2}}-\dfrac{3}{2}.

Passo 5

Manipulamos essa expressão para isolar y. Multiplicando ambos os lados por -2 obtemos
\dfrac{1}{y^{2}}=3-2\sqrt{1+x^{2}}.
Invertendo (lembrando que isso exige que o lado direito seja positivo) temos
y^{2}=\dfrac{1}{\,3-2\sqrt{1+x^{2}}\,}.
Tomando a raiz quadrada, existem duas possibilidades y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+x^{2}}}}. Como a condição inicial impõe y(0)=-1 (negativo), escolhemos o ramo negativo:
y(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+x^{2}}}}.

Passo 6

Agora determinamos o intervalo de existência. A expressão para y^{2} exige que o denominador seja estritamente positivo:
3-2\sqrt{1+x^{2}}>0.
Resolvendo essa desigualdade:
2\sqrt{1+x^{2}}<3 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1+x^{2}}<\dfrac{3}{2}.
Elevando ao quadrado (mantendo a equivalência pois ambos os lados são não negativos),
1+x^{2}<\dfrac{9}{4}\quad\Rightarrow\quad x^{2}<\dfrac{5}{4}.
Logo
|x|<\dfrac{\sqrt{5}}{2}.
Isto significa que a solução obtida está bem definida e finita para todo x com -\dfrac{\sqrt{5}}{2}<x<\dfrac{\sqrt{5}}{2}. Nos extremos x=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2} temos 3-2\sqrt{1+x^{2}}=0, então y^{2}\to\infty e a solução explode (não é possível continuar a solução de forma contínua além desses pontos). Portanto o maior intervalo de existência (intervalo maximal contendo 0) é
\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right).

Resposta

y(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+x^{2}}}}
Intervalo de existência: \displaystyle \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)

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