Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que o problema pede:
- Esboçar geometricamente a superfície
. - Encontrar uma parametrização de
e indicar claramente o domínio dos parâmetros.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A coordenada
e são sujeitas à igualdade (isto é, os pontos projetados no plano pertencem a uma curva). - Para cada ponto
dessa curva, a coordenada varia entre e .
Passo 2
Vamos entender a curva definida por
. Faço uma manipulação algébrica clássica (completar quadrado) para reconhecer a curva:
Essa é a equação de um círculo no plano
com centro em
e raio
. Ou seja, os pares
permitidos são exatamente os pontos desse círculo fechado (a igualdade garante ser só a curva, não o disco).
Passo 3
Interpretação geométrica da superfície
:
- Na direção
o conjunto impõe . Como está no círculo, podemos usar a própria equação para escrever o teto superior em função de : o teto é . - Portanto, para cada ponto do círculo
existe um segmento vertical (paralela ao eixo ) que vai de até . Como varia ao longo do círculo entre e , a altura do segmento também varia entre e . - Geometricamente,
é a “fita cilíndrica” formada pelos segmentos verticais sobre o círculo de centro e raio , com topo variável dado por . Em particular: - O ponto do círculo com maior
é (quando o ângulo é ), e ali . - O ponto com menor
é (quando o ângulo é ), e ali (segmento degenerado).
- O ponto do círculo com maior
Passo 4
Vamos construir uma parametrização natural. Como o domínio em
é um círculo de centro
e raio
, uma parametrização do círculo é simples usando um ângulo
:
Verificação rápida:
ou alternativamente verificar
substituindo dá igualdade como esperado.
Para o terceiro parâmetro, tomamos
(ou
) para variar ao longo do segmento vertical em cada ponto do círculo. Como a desigualdade impõe
e no círculo
, isso vira:
Assim uma parametrização conveniente é, para
e
na faixa indicada,
Essa fórmula dá exatamente todos os pontos de
: o primeiro e segundo componentes percorrem o círculo, e a terceira percorre o segmento vertical do
apropriado.
Passo 5
Observações extras (úteis para a prova e para o esboço):
- No plano
desenhe o círculo centro , raio . Sobre cada ponto desse círculo trace uma linha vertical de altura . - A parametrização acima é a mais direta e evita problemas com
de coordenadas polares. Se preferir usar coordenadas polares centrais (origem em ), dá para escrever (porque implica , para ), com , e então e . Essa forma funciona, mas pede cuidado com o domínio de (só ) e não é tão direta quanto a parametrização por centrada no círculo.