Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}=2 y, 0 \leq z \leq x^{2}+y^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \; ;\; x^{2}+y^{2}=2y,\; 0\le z \le x^{2}+y^{2}\}.
O que o problema pede:
  • Esboçar geometricamente a superfície S.
  • Encontrar uma parametrização de S e indicar claramente o domínio dos parâmetros.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A coordenada x e y são sujeitas à igualdade x^{2}+y^{2}=2y (isto é, os pontos projetados no plano xy pertencem a uma curva).
  • Para cada ponto (x,y) dessa curva, a coordenada z varia entre 0 e x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Vamos entender a curva definida por x^{2}+y^{2}=2y. Faço uma manipulação algébrica clássica (completar quadrado) para reconhecer a curva:
x^{2}+y^{2}=2y
x^{2}+y^{2}-2y=0
x^{2}+(y^{2}-2y)=0
x^{2}+\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)=0
x^{2}+(y-1)^{2}=1.
Essa é a equação de um círculo no plano xy com centro em (0,1) e raio 1. Ou seja, os pares (x,y) permitidos são exatamente os pontos desse círculo fechado (a igualdade garante ser só a curva, não o disco).

Passo 3

Interpretação geométrica da superfície S:
  • Na direção z o conjunto impõe 0\le z \le x^{2}+y^{2}. Como (x,y) está no círculo, podemos usar a própria equação x^{2}+y^{2}=2y para escrever o teto superior em função de y: o teto é z_{\text{max}}=x^{2}+y^{2}=2y.
  • Portanto, para cada ponto do círculo x^{2}+(y-1)^{2}=1 existe um segmento vertical (paralela ao eixo z) que vai de z=0 até z=2y. Como y varia ao longo do círculo entre 0 e 2, a altura do segmento também varia entre 0 e 4.
  • Geometricamente, S é a “fita cilíndrica” formada pelos segmentos verticais sobre o círculo de centro (0,1) e raio 1, com topo variável dado por z=2y. Em particular:
    • O ponto do círculo com maior y é (0,2) (quando o ângulo é \tfrac{\pi}{2}), e ali z_{\max}=2\cdot2=4.
    • O ponto com menor y é (0,0) (quando o ângulo é \tfrac{3\pi}{2}), e ali z_{\max}=0 (segmento degenerado).

Passo 4

Vamos construir uma parametrização natural. Como o domínio em xy é um círculo de centro (0,1) e raio 1, uma parametrização do círculo é simples usando um ângulo \varphi:
x(\varphi)=\cos\varphi,\qquad y(\varphi)=1+\sin\varphi,\qquad \varphi\in[0,2\pi).
Verificação rápida:
x(\varphi)^2+(y(\varphi)-1)^2=\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1,
ou alternativamente verificar x(\varphi)^2+y(\varphi)^2=2y(\varphi) substituindo dá igualdade como esperado.
Para o terceiro parâmetro, tomamos s (ou z) para variar ao longo do segmento vertical em cada ponto do círculo. Como a desigualdade impõe 0\le z\le x^{2}+y^{2} e no círculo x^{2}+y^{2}=2y, isso vira:
0\le s \le 2y(\varphi)=2(1+\sin\varphi).
Assim uma parametrização conveniente é, para \varphi\in[0,2\pi) e s na faixa indicada,
\mathbf{r}(\varphi,s)=\bigl(\cos\varphi,\;1+\sin\varphi,\;s\bigr), \qquad 0\le s\le 2(1+\sin\varphi).
Essa fórmula dá exatamente todos os pontos de S: o primeiro e segundo componentes percorrem o círculo, e a terceira percorre o segmento vertical do z apropriado.

Passo 5

Observações extras (úteis para a prova e para o esboço):
  • No plano xy desenhe o círculo centro (0,1), raio 1. Sobre cada ponto desse círculo trace uma linha vertical de altura 2y.
  • A parametrização acima é a mais direta e evita problemas com r=0 de coordenadas polares. Se preferir usar coordenadas polares centrais (origem em 0,0), dá para escrever r=2\sin\theta (porque r^{2}=2r\sin\theta implica r=2\sin\theta, para \sin\theta\ge0), com \theta\in[0,\pi], e então x=r\cos\theta=2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta),\quad y=r\sin\theta=2\sin^{2}\theta,e z\in[0,r^{2}]. Essa forma funciona, mas pede cuidado com o domínio de \theta (só [0,\pi]) e não é tão direta quanto a parametrização por \varphi centrada no círculo.

Resposta

\mathbf{r}(\varphi,s)=\bigl(\cos\varphi,\;1+\sin\varphi,\;s\bigr),\quad \varphi\in[0,2\pi),\quad s\in\bigl[0,2(1+\sin\varphi)\bigr]

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