Esboce no plano cartesiano:
a semi-reta y=x \operatorname{com} x \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar, no plano cartesiano, a semi-reta dada pela equação y=x com a restrição x\ge 0.
Informações dadas:
  • A equação da reta é y=x.
  • Há a condição x\ge 0, ou seja, só consideramos a parte da reta onde a coordenada x é não negativa.
    O que se quer: um desenho (esboço) no plano mostrando apenas a porção da reta que satisfaz x\ge 0.

Passo 2

Entendendo a reta y=x:
  • A reta y=x passa pela origem (0,0).
  • A inclinação (coeficiente angular) é m=1, isto é, ao andar uma unidade para a direita, sobe-se uma unidade.
  • Geometricamente, é a reta que faz ângulo de 45^\circ com o eixo x; em radianos esse ângulo é \pi/4.

Passo 3

Escolhendo pontos fáceis para desenhar a reta (apenas com x\ge 0):
  • Para x=0 temos o ponto (0,0).
  • Para x=1 temos o ponto (1,1).
  • Para x=2 temos o ponto (2,2).
  • Para x=\tfrac{1}{2} temos o ponto (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
    Esses pontos estão igualmente espaçados ao longo da direção diagonal nordeste do plano.

Passo 4

Como traçar o esboço passo a passo (sem instrumentos sofisticados):
  • Desenhe os eixos coordenados x e y cruzando em (0,0).
  • Marque eixos com escala regular (por exemplo, cada quadradinho = 1 unidade).
  • Plote os pontos (0,0), (1,1), (2,2), (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}). Para cada unidade que se anda à direita, sobe-se uma unidade.
  • Una esses pontos com uma régua imaginária: obterá uma linha reta na direção nordeste.
  • Como a condição é x\ge 0, mantenha apenas a porção da reta à direita (e incluindo) o eixo y. Não desenhe a parte com x<0.
  • Coloque um ponto cheio (ou simplesmente marque) em (0,0) para indicar que a origem está incluída (porque x=0 satisfaz x\ge 0).
  • Na extremidade para a direita/para longe, desenhe uma pequena seta apontando na direção (1,1) para indicar que a semi-reta continua indefinidamente nesse sentido.

Passo 5

Representações alternativas úteis (para interpretar o esboço):
  • Forma paramétrica: todos os pontos da semi-reta podem ser escritos como (t,t) com t\ge 0. Isso é prático para gerar pontos rapidamente.
  • Forma em conjunto: os pontos da semi-reta são \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=x \text{ e } x\ge 0\}.
  • Vetor diretor: um vetor que aponta na direção da semi-reta é (1,1). O vetor unitário nessa direção é \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1).

Passo 6

Domínio, imagem e propriedades importantes:
  • Domínio (valores de x permitidos): [0,\infty).
  • Imagem (valores de y que aparecem): [0,\infty) também, porque y=x e x\ge 0.
  • Não é um segmento (tem extensão infinita), é uma semi-reta (tem uma extremidade em (0,0) e se estende infinitamente em uma direção).

Passo 7

Resumo prático para a prova (como desenhar rápido e ficar confiante):
  • Marque (0,0). Em seguida marque (1,1) e (2,2). Trace a linha que passa por esses pontos, mantenha só a parte com x\ge 0. Faça um ponto sólido em (0,0) e coloque uma seta apontando para cima à direita. Pronto — esboço feito em menos de 1 minuto.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=x,\\ x\ge 0\}

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