Esboce os pontos em coordenadas polares:
P_{11}\left(2, \frac{4 \pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o ponto P_{11} dado em coordenadas polares por
\bigl(r,\theta\bigr) = \Bigl(2,\tfrac{4\pi}{3}\Bigr).
O conteúdo aqui é a representação de um ponto no plano polar, que podemos também converter em coordenadas cartesianas usando
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.

Passo 2

Aplicando as fórmulas:
x = 2\cos\!\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}\Bigr) = 2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) = -1,
y = 2\sin\!\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}\Bigr) = 2\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = -\sqrt{3}.
Logo, em coordenadas cartesianas o ponto é \bigl(-1,\,-\sqrt{3}\bigr).

Passo 3

Para esboçar em coordenadas polares:
  1. Desenhe os eixos ortogonais x e y.
  2. A partir da origem, trace um raio que forma um ângulo de \tfrac{4\pi}{3} ( 240\circ) medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
  3. Sobre esse raio, marque um ponto a distância 2 da origem. Esse ponto coincide com (-1,-\sqrt{3}) no plano cartesiano.

Resposta

O esboço de P_{11}\bigl(2,\tfrac{4\pi}{3}\bigr) é o ponto localizado a 2 unidades da origem na direção de \tfrac{4\pi}{3}, isto é, em (-1,-\sqrt{3}).

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