Esboce os pontos em coordenadas polares:
P_{1}\left(3, \frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto em coordenadas polares \bigl(r,\theta\bigr)=(3,\tfrac{\pi}{4}) e pede para esboçarmos sua posição no plano cartesiano. Vamos usar a transformação de coordenadas polares para cartesianas.

Passo 2

A conversão de coordenadas polares \bigl(r,\theta\bigr) para cartesianas (x,y) é dada por
x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta).

Passo 3

Aplicando r=3 e \theta=\tfrac{\pi}{4},
x = 3\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = 3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2},
y = 3\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = 3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Para esboçar, desenhe um sistema de eixos x e y; trace uma semirreta que parte da origem formando um ângulo de 45^\circ (ou \tfrac{\pi}{4} rad) com o eixo x. Marque sobre essa semirreta a distância 3 unidades a partir da origem. Esse é o ponto P_1.

Resposta

O ponto P_{1} em coordenadas cartesianas é
\bigl(x,y\bigr) = \Bigl(\tfrac{3\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\Bigr),
localizado no primeiro quadrante a 45^\circ da origem e a distância 3.

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