Esboce a região cuja área é dada pela integral e a calcule.
\int_{\pi / 4}^{\frac{9 \pi}{4}} \int_{1}^{2} r d r d t

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região descrita em coordenadas polares por
\int_{\pi/4}^{9\pi/4}\int_{1}^{2}r\,dr\,d\theta.
O conteúdo é interpretação de região em coordenadas polares e cálculo de área por integral dupla.

Passo 2

A condição 1\le r\le2 define as circunferências de raio 1 e 2, e \theta varia de \pi/4 até 9\pi/4. Como
9\pi/4 - \pi/4 = 2\pi,
essa varredura de \theta completa exatamente uma volta inteira. Portanto, a região é o anel (ou coroa) entre o círculo de raio 1 e o de raio 2.

Passo 3

Calculamos a integral iterada. Primeiro a integral em r:
\int_{1}^{2}r\,dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}.
Então fica
\int_{\pi/4}^{9\pi/4}\frac{3}{2}\,d\theta = \frac{3}{2}\Bigl(9\pi/4 - \pi/4\Bigr) = \frac{3}{2}\cdot2\pi =3\pi.

Resposta

3\pi

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