Justifique qualitativamente que o calor específico do gás de electrões a baixas temperaturas é proporcional a
. Este resultado continua válido se existir um potencial externo que modifique a relação de dispersão?
Passo 1
O enunciado pede uma justificativa qualitativa de por que o calor específico de um gás de elétrons degenerado a baixas temperaturas cresce linearmente com a temperatura. O conteúdo é estatística de Fermi–Dirac e gás de elétrons degenerado. Vamos usar o fato de que apenas elétrons próximos à energia de Fermi participam das excitações térmicas.
Passo 2
Em
todos os estados até a energia de Fermi
estão ocupados e acima vazios. Para uma pequena temperatura
, a distribuição de Fermi–Dirac
varia significativamente apenas numa faixa de ordem
em torno de
. O número de elétrons excitados é da ordem de
onde
é a densidade de estados em
. Cada elétron excitado ganha energia
, logo o acréscimo de energia interna é
Como o calor específico é
segue-se qualitativamente que
.
Passo 3
Se houver um potencial externo que modifique a relação de dispersão
, a densidade de estados
muda de forma quantitativa, mas para dispersões regulares continua finita em
. O argumento acima só requer
não nula e finita, de modo que
permanece válido. Apenas se
apresentasse alguma singularidade esse resultado poderia falhar.
Resposta
O calor específico do gás de elétrons degenerado a baixas temperaturas é proporcional a
, e essa conclusão mantém-se mesmo na presença de potenciais externos que alterem a dispersão, desde que a densidade de estados na energia de Fermi permaneça finita.