Justifique qualitativamente que o calor específico do gás de electrões a baixas temperaturas é proporcional a T. Este resultado continua válido se existir um potencial externo que modifique a relação de dispersão?

Passo 1

O enunciado pede uma justificativa qualitativa de por que o calor específico de um gás de elétrons degenerado a baixas temperaturas cresce linearmente com a temperatura. O conteúdo é estatística de Fermi–Dirac e gás de elétrons degenerado. Vamos usar o fato de que apenas elétrons próximos à energia de Fermi participam das excitações térmicas.

Passo 2

Em T=0 todos os estados até a energia de Fermi \varepsilon_F estão ocupados e acima vazios. Para uma pequena temperatura T>0, a distribuição de Fermi–Dirac
f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/k_B T}+1}
varia significativamente apenas numa faixa de ordem \Delta\varepsilon\sim k_B T em torno de \varepsilon_F. O número de elétrons excitados é da ordem de
n_{\rm exc}\sim D(\varepsilon_F)\,\Delta\varepsilon\sim D(\varepsilon_F)\,k_B T,
onde D(\varepsilon_F) é a densidade de estados em \varepsilon_F. Cada elétron excitado ganha energia \sim k_B T, logo o acréscimo de energia interna é
\Delta U\sim n_{\rm exc}\,k_B T\sim D(\varepsilon_F)\,(k_B T)^2.
Como o calor específico é
c_V=\frac{dU}{dT}\sim 2\,D(\varepsilon_F)\,k_B^2\,T,
segue-se qualitativamente que c_V\propto T.

Passo 3

Se houver um potencial externo que modifique a relação de dispersão \varepsilon(k), a densidade de estados D(\varepsilon) muda de forma quantitativa, mas para dispersões regulares continua finita em \varepsilon_F. O argumento acima só requer D(\varepsilon_F) não nula e finita, de modo que
\Delta U\sim D(\varepsilon_F)\,(k_B T)^2 \;\Longrightarrow\; c_V\propto T
permanece válido. Apenas se D(\varepsilon_F) apresentasse alguma singularidade esse resultado poderia falhar.

Resposta

O calor específico do gás de elétrons degenerado a baixas temperaturas é proporcional a T, e essa conclusão mantém-se mesmo na presença de potenciais externos que alterem a dispersão, desde que a densidade de estados na energia de Fermi permaneça finita.

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