Considere um gás de eletrões com uma densidade
, mas em que um electrão de momento
tem energia dada por:
Exprima a energia de Fermi em termos de
para o gás de electrões (sistema tridimensional). No caso bidimensional esta dispersão aplica-se ao grafeno.
Passo 1
O enunciado pede a energia de Fermi
em função da densidade de elétrons
num gás tridimensional cuja dispersão é
Para isso vamos usar o fato de que, a zero kelvin, os elétrons preenchem todos os estados com
, de modo que a densidade
se relaciona com o volume do “espaço de momentos” ocupado.
Passo 2
Em 3D, cada estado ocupa volume
no espaço de momentos e há degenerescência de spin
. Assim, o número total de elétrons por volume
até
é
Passo 3
Invertendo essa relação para obter
em função de
, temos
Passo 4
Como a energia de Fermi é
, chega-se a
Passo 5
No caso bidimensional (útil para o grafeno), a densidade por área
relaciona-se a
onde para grafeno
. Assim
Resposta
Em 3D:
Em 2D (grafeno,
):