Considere um gás de eletrões com uma densidade n, mas em que um electrão de momento \hbar \vec{k} tem energia dada por:
\epsilon(\vec{k})=\beta|\vec{k}| \quad \text { não parabólica! }ãó
Exprima a energia de Fermi em termos de n para o gás de electrões (sistema tridimensional). No caso bidimensional esta dispersão aplica-se ao grafeno.

Passo 1

O enunciado pede a energia de Fermi \epsilon_F em função da densidade de elétrons n num gás tridimensional cuja dispersão é
\epsilon(\vec{k})=\beta\lvert\vec{k}\rvert\quad(\beta>0).
Para isso vamos usar o fato de que, a zero kelvin, os elétrons preenchem todos os estados com \lvert\vec{k}\rvert\le k_F, de modo que a densidade n se relaciona com o volume do “espaço de momentos” ocupado.

Passo 2

Em 3D, cada estado ocupa volume (2\pi)^3/V no espaço de momentos e há degenerescência de spin g_s=2. Assim, o número total de elétrons por volume V até k_F é
n = \frac{2}{(2\pi)^3}\int_{\lvert\vec{k}\rvert\le k_F}d^3k = \frac{2}{(2\pi)^3}\;4\pi\int_{0}^{k_F}k^2dk = \frac{2}{2\pi^2}\;\frac{k_F^3}{3} = \frac{k_F^3}{3\pi^2}.

Passo 3

Invertendo essa relação para obter k_F em função de n, temos
k_F^3 = 3\pi^2\,n \quad\Longrightarrow\quad k_F = \bigl(3\pi^2\,n\bigr)^{1/3}.

Passo 4

Como a energia de Fermi é \epsilon_F=\beta\,k_F, chega-se a
\epsilon_F = \beta\,(3\pi^2\,n)^{1/3}.

Passo 5

No caso bidimensional (útil para o grafeno), a densidade por área n_{2D} relaciona-se a
n_{2D} = \frac{g}{(2\pi)^2}\;2\pi\int_{0}^{k_F}k\,dk = \frac{g}{4\pi}\;k_F^2,
onde para grafeno g=g_s\cdot g_v=2\cdot2=4. Assim
k_F = \sqrt{\frac{4\pi\,n_{2D}}{g}} \quad\Longrightarrow\quad \epsilon_F^{2D}=\beta\,k_F =\beta\sqrt{\frac{4\pi\,n_{2D}}{g}} \;\overset{g=4}{=}\; \beta\sqrt{\pi\,n_{2D}}\,.

Resposta

Em 3D:
\epsilon_F = \beta\,(3\pi^2\,n)^{1/3}.
Em 2D (grafeno, g=4):
\epsilon_F = \beta\,\sqrt{\pi\,n_{2D}}.

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