Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a, sendo:
integralpi^2 pi integral4^7 r d r d theta, onde 4 <= r <= 7 e pi <= theta <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região cuja área é dada pela integral dupla integralpi^2 pi integral4^7 r , dr , dtheta. Isso está relacionado ao cálculo de áreas no sistema de coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a integral dupla em coordenadas polares e os limites de integração para r e theta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que os limites de integração significam. Aqui, r varia de 4 a 7 e theta varia de pi a 2pi. No sistema polar, r representa a distância do ponto à origem, e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Então, estamos olhando para uma região que está entre dois círculos concêntricos com raios 4 e 7, e que se estende do ângulo pi (180°) até 2pi (360°).

Passo 3

Para esboçar essa região, imagine dois círculos com o mesmo centro (a origem). O círculo interno tem raio 4 e o externo tem raio 7. Agora, vamos considerar apenas a parte desses círculos que está entre pi e 2pi. Isso corresponde à metade inferior de cada círculo, já que pi a 2pi cobre da esquerda para a direita, abaixo do eixo x.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área dessa região usando a integral dada. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
A = integraltheta1^theta2 integralr1^r2 r , dr , dtheta
Onde r1 = 4, r2 = 7, theta1 = pi e theta2 = 2pi.

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a r. A integral interna é:
integral4^7 r , dr = [ 12 r^2 ]4^7 = 12 (7^2 - 4^2) = 12 (49 - 16) = 12 times 33 = 16.5

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a theta:
A = integralpi^2pi 16.5 , dtheta = 16.5 times (theta) gr|pi^2pi = 16.5 times (2pi - pi) = 16.5 times pi

Resposta

A área da região é 16.5,pi unidades de área.

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