Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a, sendo: , onde e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região cuja área é dada pela integral dupla . Isso está relacionado ao cálculo de áreas no sistema de coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a integral dupla em coordenadas polares e os limites de integração para e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que os limites de integração significam. Aqui, varia de 4 a 7 e varia de a . No sistema polar, representa a distância do ponto à origem, e é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Então, estamos olhando para uma região que está entre dois círculos concêntricos com raios 4 e 7, e que se estende do ângulo (180°) até (360°).
Passo 3
Para esboçar essa região, imagine dois círculos com o mesmo centro (a origem). O círculo interno tem raio 4 e o externo tem raio 7. Agora, vamos considerar apenas a parte desses círculos que está entre e . Isso corresponde à metade inferior de cada círculo, já que a cobre da esquerda para a direita, abaixo do eixo x.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área dessa região usando a integral dada. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Onde , , e .
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a . A integral interna é: