Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com função de posição
. Determine
sabendo que
Passo 1
O enunciado traz duas situações de movimento unidimensional onde a aceleração é dada por uma função de t e temos condições iniciais para velocidade e posição. Precisamos usar o fato de que aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição, ou seja, integrar duas vezes para achar x(t).
Passo 2
Para resolver, vamos usar a teoria de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com condições iniciais. Primeiro integramos x’’(t) para obter v(t), usando uma constante de integração que encontramos aplicando v(0). Depois integramos v(t) para achar x(t), usando outra constante ajustada por x(0).
Passo 3
Caso 1: x’’(t)=cos2t com v(0)=1. Integramos:
Logo
Aplicando v(0)=1 dá
Assim
Passo 4
Ainda no caso 1, integramos v(t) para achar x(t):
Portanto
Usando x(0)=0 obtemos
Logo
Passo 5
Caso 2: x’’(t)=
com v(0)=0. Integramos:
Logo
Como v(0)=0,
Então
Passo 6
Ainda no caso 2, integramos v(t) para achar x(t):
Portanto
Usando x(0)=0 dá
Logo
Resposta
Para o primeiro caso: \
\
Para o segundo caso: \
Para o segundo caso: \