Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x=x(t), t >= 0. Determine x=x(t) sabendo que
& d^2 xd t^2=cos 2 t, v(0)=1 e x(0)=0 & d^2 xd t^2=sen 3 t, v(0)=0 e x(0)=0

Passo 1

O enunciado traz duas situações de movimento unidimensional onde a aceleração é dada por uma função de t e temos condições iniciais para velocidade e posição. Precisamos usar o fato de que aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição, ou seja, integrar duas vezes para achar x(t).

Passo 2

Para resolver, vamos usar a teoria de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com condições iniciais. Primeiro integramos x’’(t) para obter v(t), usando uma constante de integração que encontramos aplicando v(0). Depois integramos v(t) para achar x(t), usando outra constante ajustada por x(0).

Passo 3

Caso 1: x’’(t)=cos2t com v(0)=1. Integramos:
integral cos2t,dt = tfrac12sin2t + C1
Logo
v(t)=tfrac12sin2t + C1
Aplicando v(0)=1 dá
1 = tfrac12sin0 + C1 Rightarrow C1=1
Assim
v(t)=tfrac12sin2t + 1

Passo 4

Ainda no caso 1, integramos v(t) para achar x(t):
integrall(tfrac12sin2t +1r)dt = -tfrac14cos2t + t + C2
Portanto
x(t) = -tfrac14cos2t + t + C2
Usando x(0)=0 obtemos
0 = -tfrac14cos0 + 0 + C2 Rightarrow C2=tfrac14
Logo
x(t) = t + tfrac14l(1-cos2tr)

Passo 5

Caso 2: x’’(t)= sin3t com v(0)=0. Integramos:
integral sin3t,dt = -tfrac13cos3t + C3
Logo
v(t) = -tfrac13cos3t + C3
Como v(0)=0,
0 = -tfrac13cos0 + C3 Rightarrow C3=tfrac13
Então
v(t) = tfrac13 - tfrac13cos3t = tfrac13l(1-cos3tr)

Passo 6

Ainda no caso 2, integramos v(t) para achar x(t):
integral tfrac13l(1-cos3tr)dt = tfrac13 t - tfrac19sin3t + C4
Portanto
x(t) = tfrac13 t - tfrac19sin3t + C4
Usando x(0)=0 dá
0 = 0 - 0 + C4 Rightarrow C4=0
Logo
x(t) = tfrac13 t - tfrac19sin3t

Resposta

Para o primeiro caso: \
x(t) = t + 1-cos2t4 \
Para o segundo caso: \
x(t) = t3 - sin3t9

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