(2.0) Esboce a região delimitada pelas curvas
e calcule sua área.
5. (2.0) Calcule:
(a)
(b)
5. (2.0) Calcule:
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
(parábola com eixo paralelo a
) e
(reta). Em seguida, calcular duas integrais:
(a) a integral indefinida ,
(b) a integral definida .
Para a área usaremos integração em coordenadas cartesianas, encontrando limites em . Para as integrais usaremos mudança de variável e integrais trigonométricas.
(a) a integral indefinida
(b) a integral definida
Para a área usaremos integração em coordenadas cartesianas, encontrando limites em
Passo 2
Encontrar as interseções de
,
isto é,
isto é,
No intervalo
a parábola satisfaz
. Logo, para cada
entre
e
,
varia de
até
.
Passo 3
A área é\r
Integramos:\r
Avaliaremos de
a
:\r
Passo 4
Para calcular
, fazemos
, logo
e
. A integral vira\r
Por partes, com
,
, obtemos\r
Multiplicando por
e voltando a
:\r
Passo 5
Para
, usamos
,
. Então \r
e os limites vão de
até
. A integral fica\r
Integramos:\r
Resposta
Área da região