(2.0) Esboce a região delimitada pelas curvas x=y^2-1, x=y+1 e calcule sua área.
5. (2.0) Calcule:
(a) integral sen raizx d x
(b) integral0^raiz2 / 2 x^2raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
x = y^2 - 1 (parábola com eixo paralelo a x) e
x = y + 1 (reta). Em seguida, calcular duas integrais:
(a) a integral indefinida integral sin!l(raizxr),dx,
(b) a integral definida integral0^raiz2/2x^2raiz1 - x^2,dx.
Para a área usaremos integração em coordenadas cartesianas, encontrando limites em y. Para as integrais usaremos mudança de variável e integrais trigonométricas.

Passo 2

Encontrar as interseções de
y^2 - 1 = y + 1,
isto é,
y^2 - y - 2 = 0;Longrightarrow;y = 1 pm raiz1 + 82 = 2,;-1
No intervalo -1 <= y <= 2 a parábola satisfaz x = y^2 - 1 <= y + 1. Logo, para cada y entre -1 e 2, x varia de y^2 -1 até y+1.

Passo 3

A área é\r
integraly=-1^2l[(y+1) - (y^2 - 1)r],dy = integral-1^2l(-y^2 + y + 2r),dy \r
Integramos:\r
integral -y^2,dy = -y^33, integral y,dy = y^22, integral 2,dy = 2y \r
Avaliaremos de -1 a 2:\r
l[-tfracy^33 + tfracy^22 + 2yr]-1^2 = l(-tfrac83 + 2 + 4r) - l(tfrac13 + tfrac12 - 2r) = 103 - l(-tfrac76r) = 206 + 76 = 276 = 92

Passo 4

Para calcular integral sin!l(raizxr),dx, fazemos t = raizx, logo x = t^2 e dx = 2t,dt. A integral vira\r
integral sin(t),2t,dt = 2!integral tsin(t),dt \r
Por partes, com u=t, dv=sin t,dt, obtemos\r
integral tsin t,dt = -,tcos t + integral cos t,dt = -,tcos t + sin t \r
Multiplicando por 2 e voltando a x:\r
integral sin!l(raizxr),dx = 2l(-tcos t + sin tr) + C = -2raizx,cos!l(raizxr) + 2sin!l(raizxr) + C

Passo 5

Para integral0^raiz2/2x^2raiz1 - x^2,dx, usamos x = sintheta, dx = costheta,dtheta. Então \r
;x^2 = sin^2theta,;raiz1-x^2=costheta e os limites vão de theta=0 até theta=pi/4. A integral fica\r
integral0^pi/4sin^2thetacostheta,costheta,dtheta = integral0^pi/4sin^2theta,dtheta = integral0^pi/41 - cos(2theta)2,dtheta \r
Integramos:\r
12l[theta - tfrac12sin(2theta)r]0^pi/4 = 12l(pi4 - tfrac12cdot1r) = pi8 - 14

Resposta

Área da região = tfrac92
integral sin!l(raizxr),dx = -2raizx,cos!l(raizxr) + 2sin!l(raizxr) + C
integral0^raiz2/2x^2raiz1 - x^2,dx = pi8 - 14

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