Resolva pelo Método de Frobenius
(f) 9 x^2 y^prime prime+2(2 x+1) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
9x^2y''+2(2x+1)y=0
usando o método de Frobenius em torno de x=0. Como ao dividir por x^2 o coeficiente de y tem singularidade do tipo x^-2, trata-se de um ponto regular singular e podemos buscar uma solução da forma
y=x^rsumn=0^inftyanx^n, a0neq0

Passo 2

Substituindo
y=sumn=0^infty anx^n+r, y'=sumn=0^infty an(n+r)x^n+r-1, y''=sumn=0^infty an(n+r)(n+r-1)x^n+r-2,
na equação original, obtemos
9x^2y''+2(2x+1)y =sumn=0^inftyl[9an(n+r)(n+r-1)+2anr]x^n+r +sumn=0^infty4anx^n+r+1=0
Para que essa soma seja zero para toda potência de x, o coeficiente de x^n+r deve anular-se.

Passo 3

O termo de ordem mais baixa vem de n=0. A condição indicial é
9r(r-1)+2=0 ;Longrightarrow; 9r^2-9r+2=0 ;Longrightarrow; r=23ou r=13
Assim teremos duas soluções de Frobenius independentes, com esses dois valores de r.

Passo 4

Para n>=1, o coeficiente de x^n+r reúne termos de an e de an-1:
l[9(n+r)(n+r-1)+2r]an+4an-1=0 ;Longrightarrow; an=-49(n+r)(n+r-1)+2,an-1

Passo 5

Agora avaliamos o denominador para cada r:
1. Se r=tfrac23,
9l(n+tfrac23r)l(n-tfrac13r)+2 =3n(3n+1),
então
an=-43n(3n+1),an-1
Tomando a0=1 para fixar a normalização,
y1(x) =x^2/3sumn=0^infty l(-tfrac41cdot4r) l(-tfrac42cdot7r)cdots l(-tfrac43n(3n+1)r),x^n
2. Se r=tfrac13,
9l(n+tfrac13r)l(n-tfrac23r)+2 =3n(3n-1),
então
an=-43n(3n-1),an-1,
e com a0=1:
y2(x) =x^1/3sumn=0^infty l(-tfrac41cdot2r) l(-tfrac42cdot5r)cdots l(-tfrac43n(3n-1)r),x^n

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x),
onde y1 e y2 são as séries de Frobenius obtidas acima com expoentes r=2/3 e r=1/3.

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