Calcule integral0^pi2 x cos (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos (3x) , dx $. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem produtos de funções, e para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Basicamente, vamos dividir o problema em partes menores para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
e
dv = cos(3x) , dx Rightarrow v = integral cos(3x) , dx = sin(3x)3
Explicando: derivamos $ u $ para achar $ du $, e integramos $ dv $ para achar $ v $.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cos(3x) , dx = u , v - integral v , du = x cdot sin(3x)3 - integral sin(3x)3 , dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral que sobrou:
integral sin(3x)3 , dx = 13 integral sin(3x) , dx = 13 cdot ( -cos(3x)3 ) = -cos(3x)9

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x cos(3x) , dx = x sin(3x)3 + cos(3x)9 + C
Como estamos resolvendo uma integral definida, vamos calcular os limites de 0 a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 7

Aplicando os limites:
[ x sin(3x)3 + cos(3x)9 ]0^pi2
Calculando para $ x = \frac{\pi}{2} $:
x = pi2
Calculando para $ x = 0 $:
pi2 sin(3 cdot pi2)3 + cos(3 cdot pi2)9 = pi2 cdot (-1)3 + 09 = -pi6

Resposta

Subtraindo os valores obtidos:
-pi6 - 19 = -( 3pi + 218 ) = -3pi + 218
Portanto, o valor da integral é:
integral0^pi2 x cos (3x) , dx = -3pi + 218

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