Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos (3x) , dx $. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem produtos de funções, e para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Basicamente, vamos dividir o problema em partes menores para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $.
Passo 3
Vamos escolher:
e
Explicando: derivamos $ u $ para achar $ du $, e integramos $ dv $ para achar $ v $.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral que sobrou:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Como estamos resolvendo uma integral definida, vamos calcular os limites de 0 a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 7
Aplicando os limites:
Calculando para $ x = \frac{\pi}{2} $:
Calculando para $ x = 0 $:
Resposta
Subtraindo os valores obtidos:
Portanto, o valor da integral é: