Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=\left\{x^{2}, y=2 x^{2}, x+y=3, x=0\right.

Passo 1

O enunciado pede a região limitada pelas curvas
\displaystyle y = x^2 (baixo), \displaystyle y = 2x^2 (cima), a reta \displaystyle x+y=3 e a reta vertical \displaystyle x=0.
No plano xy essa região tem vértices em (0,0), em (1,2) (interseção de y=2x^2 com x+y=3) e em \bigl(x_2,x_2^2\bigr), onde a reta corta y=x^2. Para encontrar a área, vamos integrar em x.

Passo 2

Determinar as abscissas dos pontos de interseção com a reta x+y=3:
– Com y=2x^2:
x + 2x^2 = 3 \;\implies\; 2x^2 + x - 3 = 0 \;\implies\; x = 1 \quad(\text{logo }y=2\cdot1^2=2).
– Com y=x^2:
x + x^2 = 3 \;\implies\; x^2 + x - 3 = 0 \;\implies\; x = \frac{-1+\sqrt{13}}{2} \equiv x_2.

Passo 3

Observamos que para 0\le x\le1 o “topo” da região é y=2x^2 e o “fundo” é y=x^2.
Para 1\le x\le x_2, o “topo” passa a ser a reta y=3-x e o fundo continua y=x^2.
Assim a área total é
A \;=\; \int_{0}^{1}\bigl(2x^2 - x^2\bigr)\,dx \;+\; \int_{1}^{x_2}\bigl[(3 - x) - x^2\bigr]\,dx.

Passo 4

Calculemos cada integral.
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}(2x^2 - x^2)\,dx = \int_{0}^{1}x^2\,dx = \left[\tfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \tfrac13.
  2. \displaystyle \int_{1}^{x_2}(3 - x - x^2)\,dx = \Bigl[3x - \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{1}^{x_2} = \frac{13\sqrt{13}-45}{12}.
    Somando,
A = \frac13 + \frac{13\sqrt{13}-45}{12} = \frac{13\sqrt{13}-41}{12}.

Resposta

A área da região é
\boxed{\frac{13\sqrt{13}-41}{12}}.

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