Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas
,
,
e
.
O conteúdo envolve geometria de regiões planas e cálculo de integrais definidas (área por integração) ou simplesmente reconhecimento de um triângulo.
Vamos precisar esboçar as curvas, encontrar pontos de interseção e expressar o ramo de integração.
O conteúdo envolve geometria de regiões planas e cálculo de integrais definidas (área por integração) ou simplesmente reconhecimento de um triângulo.
Vamos precisar esboçar as curvas, encontrar pontos de interseção e expressar o ramo de integração.
Passo 2
Esboço qualitativo:
-
é o eixo . -
é uma reta horizontal em . -
é a reta de passando pela origem. -
é uma hipérbole no primeiro quadrante que passa por e tem assíntota vertical em .
Observação: as retas
,
e
formam um triângulo cujos vértices são
,
e
. A hipérbole também passa em
mas não adiciona arco de fronteira extra, pois não intersecta as demais em outro ponto.
Passo 3
Determinamos as interseções relevantes:
. Entre
e
:
.
. Entre
e
:
.
. Entre
e
: basta
, logo
.
. Entre
e
:
dá
,
.
. Entre
e
:
leva a
, no primeiro quadrante
,
.
Portanto os vértices distintos são
,
e
.
Passo 4
A região é o triângulo com lados:
-
de a . -
de a . -
de a .
Para calcular a área, usamos integração em
de
a
, tomando como “altura” em cada
a diferença entre
e
.
Passo 5
Calculando a área:
Resposta
A área da região é
.