Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=1 / x, \quad y=x, \quad y=1, \quad x=0

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas \,y=\tfrac1x, \,y=x, \,y=1 e \,x=0.
O conteúdo envolve geometria de regiões planas e cálculo de integrais definidas (área por integração) ou simplesmente reconhecimento de um triângulo.
Vamos precisar esboçar as curvas, encontrar pontos de interseção e expressar o ramo de integração.

Passo 2

Esboço qualitativo:
  • \,x=0 é o eixo y.
  • \,y=1 é uma reta horizontal em y=1.
  • \,y=x é a reta de 45\circ passando pela origem.
  • \,y=\tfrac1x é uma hipérbole no primeiro quadrante que passa por (1,1) e tem assíntota vertical em x=0.
Observação: as retas x=0, y=1 e y=x formam um triângulo cujos vértices são (0,0), (0,1) e (1,1). A hipérbole também passa em (1,1) mas não adiciona arco de fronteira extra, pois não intersecta as demais em outro ponto.

Passo 3

Determinamos as interseções relevantes:
1. Entre \,x=0 e \,y=x: (0,0).
2. Entre \,x=0 e \,y=1: (0,1).
3. Entre \,y=1 e \,y=x: basta x=1, logo (1,1).
4. Entre \,y=1 e \,y=\tfrac1x: 1=\tfrac1x x=1, y=1.
5. Entre \,y=x e \,y=\tfrac1x: x=\tfrac1x leva a x^2=1, no primeiro quadrante x=1, y=1.
Portanto os vértices distintos são (0,0), (0,1) e (1,1).

Passo 4

A região é o triângulo com lados:
  • x=0 de (0,0) a (0,1).
  • y=1 de (0,1) a (1,1).
  • y=x de (1,1) a (0,0).
Para calcular a área, usamos integração em x de 0 a 1, tomando como “altura” em cada x a diferença entre y_{\text{topo}}=1 e y_{\text{fundo}}=x.

Passo 5

Calculando a área:
\text{Área} = \int_{0}^{1} \bigl(1 - x\bigr)\,dx = \Bigl[x - \tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(1 - \tfrac12\bigr) - 0 = \tfrac12.Á

Resposta

A área da região é \tfrac12.

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