Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=\lg x, y=2 \operatorname{sen} x,-\pi / 3 \leqslant x \leqslant \pi / 3

Passo 1

O enunciado pede para desenhar e calcular a área da região limitada pelas curvas
\;y=\lg x, \;y=2\sin x e pelas retas verticais \;x=-\pi/3 e \;x=\pi/3.

Passo 2

Verificamos o domínio de cada curva:
  • A função \;y=\lg x só está definida para x>0.
  • A função \;y=2\sin x está definida para todo x\in\mathbb{R}.
    O intervalo dado -\pi/3\le x\le\pi/3 inclui valores de x\le 0, onde \lg x é indefinida.

Passo 3

Para haver uma região fechada precisamos que ambas as curvas existam e se cruzem dentro do intervalo de x.
  1. Em x\le0 não existe \lg x, logo não há “parte” da região lá.
  2. Em 0<x\le\pi/3, \lg x\to -\infty quando x\to0^+, e 2\sin x é finita, de modo que a região aberta perto de x=0 fica ilimitada para baixo.
  3. Além disso, dentro de 0<x\le\pi/3 não há ponto de interseção real entre \lg x e 2\sin x (isto se verifica checando-se que para todo 0<x\le\pi/3 tem-se 2\sin x>\lg x).

Resposta

Não existe região fechada e de área finita porque \lg x não está definida para x\le0 e tende a -\infty quando x\to0^+. Portanto, não há como delimitar uma área finita no intervalo dado.

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