Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região que fica entre as curvas
,
, e as linhas verticais
e
. Depois, precisamos encontrar a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções e cálculo de integrais, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam. A função
é uma exponencial que cresce rapidamente. Já
é uma parábola que abre para cima e está deslocada para baixo. As linhas
e
são verticais e vão nos dar os limites laterais da região que queremos.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam dentro do intervalo de
a
. Igualamos
e resolvemos para
. Isso pode ser feito numericamente ou com uma calculadora, já que não temos uma solução exata simples. Supondo que os pontos de interseção estejam dentro desse intervalo, esses serão os limites para a área que vamos calcular.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida. A ideia é integrar a diferença entre as duas funções no intervalo de
a
. Matematicamente, fica assim:
Aqui, subtraímos a função inferior da superior para garantir que a área calculada seja positiva.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, calculamos a integral de
que é
. Depois, a integral de
é
. Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 1:
Substituímos
pelos valores 1 e -1 e fazemos as contas.
Passo 6
Calculando para
:
E para
:
Passo 7
Agora, subtraímos o resultado de
do resultado de
:
Ficamos com a expressão final para a área.
Resposta
A área delimitada pelas curvas é
unidades de área.