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Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a função é par ou ímpar e, depois, calcular a série de Fourier dela no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser par ou ímpar e como construir a série de Fourier para funções definidas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar. Uma função é chamada de par se satisfaz para todo , e ímpar se . Vamos testar isso com :
Como , a função é par.
Passo 3
Agora que sabemos que a função é par, podemos usar a série de Fourier para funções pares, que só possuem termos de cosseno (já que os termos de seno seriam ímpares e desapareceriam). A série de Fourier para uma função par é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
Mas como é par, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de a :
Passo 4
Vamos calcular primeiro, que representa a média da função no intervalo:
Integrando:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes an = 2pi integral0^pi x cos(nx) , dx para integral x cos(nx) , dx = x cdot sin(nx)n - integral sin(nx)n , dx = x sin(nx)n + cos(nx)n^2 :
( x sin(nx)n + cos(nx)n^2 ) |0^pi = pi sin(npi)n + cos(npi)n^2 - ( 0 + 1n^2 )
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes, onde escolhemos an = 2pi ( (-1)^nn^2 - 1n^2 ) = 2pi cdot (-1)^n - 1n^2 e . Então, e .
Observando que para termos pares, an = 0, & se n é par -4pi n^2, & se n é ímpar , então . Para termos ímpares, , então:
Portanto, os coeficientes para são:
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Resposta
A função f(x) = pi2 - 4pi ( 11^2 cos(x) + 13^2 cos(3x) + 15^2 cos(5x) + dots ) é par, e sua série de Fourier no intervalo f(x) = pi2 - 4pi sumk=0^infty cos((2k+1)x)(2k+1)^2 é dada por: