Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
x=y^{2}, y-x=2, y=-2, y=3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas as curvas e retas:
    • x=y^{2} (parábola com eixo paralelo a x, abrindo para a direita).
    • y-x=2, ou seja x=y-2 (reta de inclinação 1).
    • y=-2 (reta horizontal).
    • y=3 (reta horizontal).
  • O que o enunciado pede:
    • Esboçar a região limitada por essas curvas.
    • Calcular a área dessa região usando uma ou mais integrais duplas.

Passo 2

Interpretar geometricamente e determinar os limites para integração.
  • As retas horizontais y=-2 e y=3 dão o intervalo vertical em y: -2\le y\le 3.
  • Para cada valor de y nesse intervalo, as abscissas x estão entre as duas curvas x=y-2 e x=y^{2}.
  • Verificamos qual das duas é a curva mais à direita (maior x) comparando y^{2} e y-2.
    • Resolver y^{2}=y-2 leva a y^{2}-y+2=0, cuja discriminante é 1-8=-7<0. Portanto não há interseção real entre as duas no plano.
    • Teste em y=0: y^{2}=0 e y-2=-2. Como 0>-2, conclui-se que y^{2}>y-2 para todos y. Logo a parábola x=y^{2} está sempre à direita da reta x=y-2.
  • Conclusão do esboço: a região é um “faixa” no plano verticalmente entre y=-2 e y=3, limitada à esquerda pela reta x=y-2 e à direita pela parábola x=y^{2}.

Passo 3

Escolher a ordem de integração e escrever a integral dupla para a área.
  • A área de uma região R no plano pode ser escrita como integral dupla \text{Área}(R)=\iint_{R} dA.Á
  • Quando a região pode ser descrita como \{(x,y)\mid a\le y\le b,\; g_1(y)\le x\le g_2(y)\}, é conveniente usar a iteração \int_{y=a}^{b}\int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)} dx\,dy.
  • Aqui já temos exatamente esse formato com a=-2, b=3, g_1(y)=y-2 e g_2(y)=y^{2}.
  • Portanto a integral dupla para a área é \text{Área}=\int_{y=-2}^{3}\left(\int_{x=y-2}^{y^{2}} dx\right)dy.Á

Passo 4

Calcular a integral interna em x.
  • A integral interna \int_{x=y-2}^{y^{2}} dx é simples: integrar 1 em x x, avaliado entre os limites. \int_{x=y-2}^{y^{2}} dx = \bigl[x\bigr]_{x=y-2}^{x=y^{2}} = y^{2} - (y-2).
  • Simplificando o integrando em função de y: y^{2} - (y-2)=y^{2}-y+2.
  • Assim a integral de área reduz-se a uma integral única em y: \text{Área}=\int_{-2}^{3}\bigl(y^{2}-y+2\bigr)\,dy.Á

Passo 5

Lembrar como integrar polinômios e calcular a primitiva.
  • Regra: \displaystyle\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1; a integral de ay é a\frac{y^{2}}{2} e de constante c é cy.
  • Aplicando termo a termo: \int\bigl(y^{2}-y+2\bigr)\,dy=\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2y + C.
  • Vamos avaliar essa primitiva entre y=-2 e y=3.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites e fazer a subtração com cuidado (frações).
  • Calcular em y=3: \frac{3^{3}}{3}-\frac{3^{2}}{2}+2\cdot 3 = \frac{27}{3}-\frac{9}{2}+6 = 9-\frac{9}{2}+6 = \frac{21}{2}.
  • Calcular em y=-2: \frac{(-2)^{3}}{3}-\frac{(-2)^{2}}{2}+2\cdot(-2) = -\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4 = -\frac{8}{3}-2-4 = -\frac{8}{3}-6 = -\frac{26}{3}.
  • Subtrair: valor em 3 menos valor em -2: \text{Área}=\frac{21}{2}-\Bigl(-\frac{26}{3}\Bigr)=\frac{21}{2}+\frac{26}{3}.Á
  • Somando frações com denominador comum 6: \frac{21}{2}+\frac{26}{3}=\frac{63}{6}+\frac{52}{6}=\frac{115}{6}.

Passo 7

Interpretação curta e observação alternativa.
  • Resultado final: a área da região é \dfrac{115}{6}.
  • Observação: poderia-se tentar integrar na ordem dx\,dy invertida (isto é, \int\!\int dy\,dx), mas nesse caso seria necessário expressar y em termos de x para a parábola como y=\pm\sqrt{x} e dividir a região em partes, o que complica desnecessariamente. A escolha \int_{-2}^{3}\int_{y-2}^{y^{2}} dx\,dy é a mais direta.

Resposta

\dfrac{115}{6}

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