Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- São dadas as curvas e retas:
-
(parábola com eixo paralelo a , abrindo para a direita). -
, ou seja (reta de inclinação 1). -
(reta horizontal). -
(reta horizontal).
-
- O que o enunciado pede:
- Esboçar a região limitada por essas curvas.
- Calcular a área dessa região usando uma ou mais integrais duplas.
Passo 2
Interpretar geometricamente e determinar os limites para integração.
- As retas horizontais
e dão o intervalo vertical em : . - Para cada valor de
nesse intervalo, as abscissas estão entre as duas curvas e . - Verificamos qual das duas é a curva mais à direita (maior
) comparando e . - Resolver
leva a , cuja discriminante é . Portanto não há interseção real entre as duas no plano. - Teste em
: e . Como , conclui-se que para todos . Logo a parábola está sempre à direita da reta .
- Resolver
- Conclusão do esboço: a região é um “faixa” no plano verticalmente entre
e , limitada à esquerda pela reta e à direita pela parábola .
Passo 3
Escolher a ordem de integração e escrever a integral dupla para a área.
- A área de uma região
no plano pode ser escrita como integral dupla - Quando a região pode ser descrita como
, é conveniente usar a iteração . - Aqui já temos exatamente esse formato com
, , e . - Portanto a integral dupla para a área é
Passo 4
Calcular a integral interna em
.
- A integral interna
é simples: integrar em dá , avaliado entre os limites. - Simplificando o integrando em função de
: - Assim a integral de área reduz-se a uma integral única em
:
Passo 5
Lembrar como integrar polinômios e calcular a primitiva.
- Regra:
para ; a integral de é e de constante é . - Aplicando termo a termo:
- Vamos avaliar essa primitiva entre
e .
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites e fazer a subtração com cuidado (frações).
- Calcular em
: - Calcular em
: - Subtrair: valor em
menos valor em : - Somando frações com denominador comum
:
Passo 7
Interpretação curta e observação alternativa.
- Resultado final: a área da região é
. - Observação: poderia-se tentar integrar na ordem
invertida (isto é, ), mas nesse caso seria necessário expressar em termos de para a parábola como e dividir a região em partes, o que complica desnecessariamente. A escolha é a mais direta.