Reduza à forma a+b i cada uma das expressões dadas nos exercícios 17 a 27.
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{30}\

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que foi dado. A expressão a ser reduzida à forma a+b i é
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{30}.
O que precisamos entregar é a forma a+b i (com a e b números reais).

Passo 2

Primeiro simplificamos a base \dfrac{1+i}{1-i}. Uma técnica direta é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar i do denominador. Multiplicamos por \dfrac{1+i}{1+i}:
\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}.
Agora calculemos numerador e denominador separadamente:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i,
(1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2.
Portanto
\frac{1+i}{1-i} = \frac{2i}{2} = i.

Passo 3

Concluímos que a expressão original é
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{30} = i^{30}.
Agora precisamos calcular i^{30}. Lembra da sequência cíclica das potências de i:
i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,
e a cada 4 potências o ciclo se repete. Assim basta calcular o resto da divisão de 30 por 4:
30 \div 4 \text{ tem resto } 2,
logo i^{30} = i^{4\cdot7 + 2} = (i^4)^7 i^2 = 1^7 \cdot i^2 = i^2.

Passo 4

Usando i^2 = -1 concluímos que
i^{30} = -1.
Na forma a+b i isso corresponde a a=-1 e b=0, ou seja -1+0i.

Resposta

-1+0i

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