Reduza à forma a+b i cada uma das expressões dadas nos exercícios 17 a 27.
(1-i)(\sqrt{3}+2 i)\

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma a+b\,i a expressão dada. As informações relevantes são:
  • A expressão dada é (1-i)(\sqrt{3}+2\,i) (peguei exatamente essa expressão do enunciado).
  • O objetivo é escrever o produto como a+b\,i, com a e b números reais.

Passo 2

Princípio que vamos usar: multiplicação de números complexos. Se tivermos dois complexos a+b\,i e c+d\,i, o produto é dado pela distributiva (ou regra “FOIL”):
(a+b\,i)(c+d\,i) = (ac-bd) + (ad+bc)\,i.
Explicando essa fórmula:
  • ac vem do produto das partes reais.
  • bd vem do produto das partes imaginárias e transforma-se em real porque i^2=-1, por isso aparece com sinal negativo em ac-bd.
  • ad e bc são os produtos que geram a parte imaginária, somados em ad+bc.
    Cada letra representa: a,b,c,d são números reais; i é a unidade imaginária com i^2=-1.

Passo 3

Identificamos os coeficientes na expressão (1-i)(\sqrt{3}+2\,i):
  • Para o primeiro fator 1-i, temos a=1 e b=-1 (porque 1-i = 1 + (-1)i).
  • Para o segundo fator \sqrt{3}+2\,i, temos c=\sqrt{3} e d=2.

Passo 4

Calculamos a parte real usando a fórmula (ac-bd):
ac-bd = 1\cdot\sqrt{3} - (-1)\cdot 2 = \sqrt{3} + 2.
Detalhe: o termo -(-1)\cdot 2 vira +2 porque b=-1.

Passo 5

Calculamos a parte imaginária usando a fórmula (ad+bc):
ad+bc = 1\cdot 2 + (-1)\cdot\sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}.

Passo 6

Juntando as partes real e imaginária obtemos o resultado na forma a+b\,i:
(1-i)(\sqrt{3}+2\,i) = (\sqrt{3}+2) + (2-\sqrt{3})\,i.

Passo 7

Verificação rápida (aplicando a distributiva direto, para confirmar):
\begin{aligned} (1-i)(\sqrt{3}+2\,i) &= 1\cdot\sqrt{3} + 1\cdot 2\,i - i\cdot\sqrt{3} - i\cdot 2\,i\\\ &= \sqrt{3} + 2\,i - \sqrt{3}\,i - 2\,i^2\\\ &= \sqrt{3} + 2\,i - \sqrt{3}\,i - 2(-1)\\\ &= (\sqrt{3}+2) + (2-\sqrt{3})\,i, \end{aligned}
o que confirma o resultado.

Resposta

(\sqrt{3}+2) + (2-\sqrt{3})\,i

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