Esboçe a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
x=y^{2}, y-x=2, y=-2 e y=3

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano xy limitada pelas curvas
x = y^2,
y - x = 2,
y = -2 \quad\text{e}\quad y = 3.
O conteúdo é cálculo de área por integração, e vamos usar retângulos horizontais, integrando em relação a y.

Passo 2

Identificamos cada fronteira:
– A parábola
x = y^2
abre para a direita.
– A reta
y - x = 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x = y - 2
é uma linha inclinada.
– As retas horizontais são
y = -2 \quad\text{e}\quad y = 3.
Para cada y entre -2 e 3, a abscissa na reta é x_{\rm esquerda}=y-2 e na parábola é x_{\rm direita}=y^2, com
y-2 \;<\; y^2 \quad\text{(por exemplo em \(y=0\), \(-2<0\))}.
Logo a região é
\{(x,y)\;\mid\;-2\le y\le3,\;y-2\le x\le y^2\}.

Passo 3

A área é
\text{Área} =\int_{y=-2}^{3}\bigl(x_{\rm direita}-x_{\rm esquerda}\bigr)\,dy =\int_{-2}^{3}\bigl(y^2 - (y-2)\bigr)\,dy.Á

Passo 4

Expandindo o integrando,
y^2 - (y-2)=y^2 - y + 2.
Uma primitiva é
\int \bigl(y^2 - y + 2\bigr)\,dy =\frac{y^3}{3} - \frac{y^2}{2} + 2y.

Passo 5

Avaliaremos de -2 a 3:
\left[\frac{y^3}{3} - \frac{y^2}{2} + 2y\right]_{-2}^{3} =\biggl(\frac{27}{3}-\frac{9}{2}+6\biggr) -\biggl(-\frac{8}{3}-2-4\biggr).
Calculando cada parte,
\frac{27}{3}-\frac{9}{2}+6 = 9 - \frac{9}{2} + 6 = \frac{21}{2}, \quad -\frac{8}{3}-2-4 = -\frac{26}{3}.
Logo
\text{Área} =\frac{21}{2} - \bigl(-\tfrac{26}{3}\bigr) =\frac{21}{2} + \frac{26}{3} =\frac{63+52}{6} =\frac{115}{6}.Á

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{115}{6}.

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