Esboçe a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
y=\ln x, y=0 e x=4

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\ln x, y=0 e pela reta vertical x=4. O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas curvas em coordenadas cartesianas, que se faz montando uma integral definida em x.

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto de interseção entre y=\ln x e y=0.
Resolvendo \ln x=0 x=1. Logo, a região está entre x=1 e x=4, e entre a curva de cima y=\ln x e a de baixo y=0.

Passo 3

A área A é
A = \int_{x=1}^{4}\bigl(\ln x - 0\bigr)\,dx = \int_{1}^{4}\ln x\,dx.
Para integrar \ln x, usamos a primitiva
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C.
Portanto,
A = \bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{4} = \bigl(4\ln4 - 4\bigr) - \bigl(1\cdot\ln1 - 1\bigr) = 4\ln4 - 4 - (0 - 1) = 4\ln4 - 3.
Como \ln4 = 2\ln2, fica A = 8\ln2 - 3.

Resposta

A área da região é 8\ln2 - 3 unidades de área.

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