Esboçe a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
y^{2}=2 x e y=x-4

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar a região limitada pelos gráficos de y^2 = 2x (parábola com vértice em (0,0) abrindo para a direita) e de y = x - 4 (reta de inclinação 1 e intercepto em (0,-4)) e calcular sua área. O conteúdo envolve área de regiões planas via integração. Vamos:
  1. achar os pontos de interseção;
  2. escrever cada curva como x em função de y;
  3. determinar os limites de integração;
  4. montar e calcular a integral da diferença das abscissas.

Passo 2

Para encontrar as interseções, substituímos x = y + 4 (da reta) em y^2 = 2x:
y^2 = 2(y + 4) \;\Longrightarrow\; y^2 - 2y - 8 = 0.
O discriminante é \Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8) = 4 + 32 = 36, logo
y = \frac{2 \pm 6}{2} \;\Longrightarrow\; y = 4 \quad\text{ou}\quad y = -2.
Substituindo em x = y + 4, obtemos os pontos (8,4) e (2,-2).

Passo 3

Expressamos cada curva como abscissa em função de y:
x_{\text{parábola}} = \frac{y^2}{2}, \qquad x_{\text{reta}} = y + 4.á
Num esboço, para -2 \le y \le 4, a reta fica sempre à direita da parábola, fechando a região.

Passo 4

A área A é dada por
A = \int_{y=-2}^{4} \bigl[x_{\text{reta}} - x_{\text{parábola}}\bigr]\,dy = \int_{-2}^{4} \Bigl((y + 4) - \frac{y^2}{2}\Bigr)\,dy.á
Calculamos a antiderivada
F(y) = \int \Bigl(y + 4 - \tfrac{y^2}{2}\Bigr)\,dy = \frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}.

Passo 5

Avaliação em y=4 e y=-2:
F(4) = \frac{4^2}{2} + 4\cdot4 - \frac{4^3}{6} = 8 + 16 - \frac{64}{6} = 24 - \frac{32}{3} = \frac{40}{3},
F(-2) = \frac{(-2)^2}{2} + 4(-2) - \frac{(-2)^3}{6} = 2 - 8 - \bigl(-\tfrac{8}{6}\bigr) = -6 + \frac{4}{3} = -\frac{14}{3}.
Portanto
A = F(4) - F(-2) = \frac{40}{3} - \bigl(-\tfrac{14}{3}\bigr) = \frac{54}{3} = 18.

Resposta

A área da região limitada por y^2 = 2x e y = x - 4 é 18.

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