Esboçe a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
y=-x^{2}-4 e y=-8

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região comum aos gráficos de \displaystyle y=-x^{2}-4 e \displaystyle y=-8,
e em seguida calcular a área dessa região.
Conteúdo: área entre duas curvas em \mathbb{R}^2 usando integração definida.

Passo 2

Para esboçar, note que \displaystyle y=-x^{2}-4 é uma parábola com vértice em (0,-4) voltada para baixo, e \displaystyle y=-8 é uma reta horizontal. A região delimitada fica “entre” a parábola (mais acima) e a reta (mais abaixo), fechada lateralmente nos pontos de interseção.

Passo 3

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
-x^{2}-4 = -8
-x^{2} = -4
x^{2} = 4
x = \pm 2
Logo, a região vai de x=-2 a x=2.

Passo 4

A área A é dada por
A = \int_{x=-2}^{2} \bigl[\;(y_{\text{superior}})-(y_{\text{inferior}})\bigr]\,dx
Aqui y_{\text{superior}}=-x^{2}-4 e y_{\text{inferior}}=-8, então o integrando é
(-x^{2}-4)-(-8) = -x^{2}+4.

Passo 5

Calculamos
A = \int_{-2}^{2} \bigl(-x^{2}+4\bigr)\,dx.
Uma antiderivada de -x^{2}+4 é
-\tfrac{1}{3}x^{3}+4x.
Avaliando de -2 a 2:
\Bigl[-\tfrac{1}{3}x^{3}+4x\Bigr]_{-2}^{2} = \bigl(-\tfrac{8}{3}+8\bigr)-\bigl(+\tfrac{8}{3}-8\bigr) = \tfrac{16}{3}-(-\tfrac{16}{3}) = \tfrac{32}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{32}{3}.

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