Usando o método de integração de funções racionais por frações parciais, calcule cada integral:
\int \frac{x^{3}+3 x^{2}-2}{x^{2}-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{2}-x}\,dx
usando frações parciais. Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, primeiro faremos a divisão polinomial para decompor a função em parte inteira mais fração própria.

Passo 2

Fazendo a divisão de
x^{3}+3x^{2}-2
por
x^{2}-x
obtemos:
x^{3}+3x^{2}-2 = (x+4)(x^{2}-x) + (4x-2).
Logo,
\frac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{2}-x} = x+4 + \frac{4x-2}{x(x-1)}.

Passo 3

Agora decompomos a parte própria
\frac{4x-2}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}.
Temos
4x-2 = A(x-1) + Bx = (A+B)x - A.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 4,\\\\ -\,A = -2 \;\Rightarrow\; A=2. \end{cases}
Então B=4-2=2 e
\frac{4x-2}{x(x-1)} = \frac{2}{x} + \frac{2}{x-1}.

Passo 4

Substituindo de volta na integral,
\int \frac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{2}-x}\,dx = \int \Bigl(x+4 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x-1}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int 4\,dx = 4x,\quad \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert,\quad \int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln\lvert x-1\rvert.

Resposta

\int \frac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{2}-x}\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 4x + 2\ln\lvert x\rvert + 2\ln\lvert x-1\rvert + C.

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