Esboçe a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
y=x^{2}-x e y=x

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce a região comum aos gráficos de
y = x^{2} - x
e
y = x
e em seguida calcule a área dessa região. O conteúdo aqui é encontrar os pontos de interseção, identificar qual curva fica acima da outra entre esses pontos e usar integral definida para calcular a área.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
x^{2} - x = x.
Reorganizando,
x^{2} - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x - 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \text{ ou } x = 2.

Passo 3

Para determinar qual curva está acima em 0 \le x \le 2, comparamos
y_{\text{reta}} - y_{\text{parábola}} = x - (x^{2} - x) = 2x - x^{2}.á
Como 2x - x^{2} > 0 para 0 < x < 2, a reta y = x fica acima da parábola y = x^{2} - x nesse intervalo.

Passo 4

A área da região é
\text{Área} = \int_{0}^{2}\bigl(\underbrace{x}_{\text{reta}} \;-\;\underbrace{(x^{2}-x)}_{\text{parábola}}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2}(2x - x^{2})\,dx.Áá

Passo 5

Calculando a integral:
\int (2x - x^{2})\,dx = x^{2} - \frac{x^{3}}{3},
então
\text{Área} = \left[x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \Bigl(4 - \tfrac{8}{3}\Bigr) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}.Á

Resposta

A área da região delimitada é \displaystyle \tfrac{4}{3}.

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