Esboce a região ® delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse ∬R f(x, y) dA como uma integral iterada, usando (a) somente o Teorema (17.8)(i) e (b) somente o Teorema (17.8)(ii).
y=√x, x=0, y=2
y=√x, x=0, y=2
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Esboçar (mentalmente/descrever) a região
delimitada por , e . - Expressar
como integral iterada: - (a) usando somente o Teorema
; - (b) usando somente o Teorema
.
- (a) usando somente o Teorema
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Curva:
. Equivalentemente, para . - Reta vertical:
(eixo ). - Reta horizontal:
. -
é contínua em (logo podemos aplicar os teoremas e trocar ordem de integração se quisermos).
Passo 2
Vamos entender e esboçar a região
passo a passo (sem desenhar, mas descrevendo claramente).
- A curva
é a raiz quadrada: para ela começa em e cresce para a direita. Em forma invertida, é uma parábola que abre para a direita. - A linha
é uma reta horizontal cortando a parábola em . Logo a interseção entre e é o ponto . - A linha
é o eixo , que será o limite esquerdo da região. - Portanto a região
é a “fatia” limitada à esquerda por , à direita pela parábola (ou inferiormente pela curva dependendo da orientação), e em cima por . Visualize um pedaço de parábola entre e , fechado pelo eixo .
Resumo dos extremos:
- Em
: de até . - Em
: de até .
Passo 3
Explicação do tipo de teorema usado (aula rápida, sem jargão pesado).
- Teorema
(forma padrão em muitos livros) trata de regiões descritas como Nesse caso a integral dupla se escreve como integral iterada com : Interpretação prática: para cada valor fixo de entre e , varia entre duas curvas e .
Passo 4
Aplicando o Teorema
ao nosso
:
- Para um
fixo, qual é a variação de ? Observando a região: vai da curva inferior até a reta superior . - Qual é o intervalo de
? A região começa em (lado esquerdo) e vai até o ponto onde a curva encontra , ou seja . - Portanto, pelo Teorema
,
Passo 5
Agora explicar o outro enunciado do teorema:
- Teorema
trata de regiões descritas como Nesse caso escreveremos a integral dupla como iterada com : Interpretação prática: para cada fixo entre e , varia entre duas curvas e .
Passo 6
Aplicando o Teorema
ao nosso
:
- Para um
fixo, qual é a variação de ? Observando a região: vai do eixo (lado esquerdo) até a parábola (lado direito). - Qual é o intervalo de
? Vai de até . - Portanto, pelo Teorema
,
Passo 7
Verificação rápida (cheia de empatia: “vamos checar se bate” — exemplo concreto para ganhar confiança).
- Se escolhermos
(área de ), ambas as integrais devem dar o mesmo número:
- Resultado coincide, ótimo — sinal de que as formulações de limites estão corretas.
Passo 8
Resumo final e ânimo: então temos as duas formas pedidas; na prova, reconheça primeiro se o enunciado dá a região como “para cada
…” (usa-se
) ou “para cada
…” (usa-se
). Aqui fizemos as duas para reforçar — você já domina esse tipo de conversão. Força aí, isso tá certinho!