Esboce a região ® delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse ∬R f(x, y) dA como uma integral iterada, usando (a) somente o Teorema (17.8)(i) e (b) somente o Teorema (17.8)(ii).
y=√x, x=0, y=2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Esboçar (mentalmente/descrever) a região R delimitada por y=\sqrt{x}, x=0 e y=2.
  • Expressar \iint_{R} f(x,y)\,dA como integral iterada:
    • (a) usando somente o Teorema (17.8)(i);
    • (b) usando somente o Teorema (17.8)(ii).
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Curva: y=\sqrt{x}. Equivalentemente, x=y^{2} para y\ge0.
  • Reta vertical: x=0 (eixo y).
  • Reta horizontal: y=2.
  • f(x,y) é contínua em R (logo podemos aplicar os teoremas e trocar ordem de integração se quisermos).

Passo 2

Vamos entender e esboçar a região R passo a passo (sem desenhar, mas descrevendo claramente).
  • A curva y=\sqrt{x} é a raiz quadrada: para x\ge0 ela começa em (0,0) e cresce para a direita. Em forma invertida, x=y^{2} é uma parábola que abre para a direita.
  • A linha y=2 é uma reta horizontal cortando a parábola em x=y^{2}=2^{2}=4. Logo a interseção entre y=\sqrt{x} e y=2 é o ponto (4,2).
  • A linha x=0 é o eixo y, que será o limite esquerdo da região.
  • Portanto a região R é a “fatia” limitada à esquerda por x=0, à direita pela parábola x=y^{2} (ou inferiormente pela curva y=\sqrt{x} dependendo da orientação), e em cima por y=2. Visualize um pedaço de parábola entre y=0 e y=2, fechado pelo eixo x=0.
Resumo dos extremos:
  • Em y: de y=0 até y=2.
  • Em x: de x=0 até x=4.

Passo 3

Explicação do tipo de teorema usado (aula rápida, sem jargão pesado).
  • Teorema (17.8)(i) (forma padrão em muitos livros) trata de regiões descritas como R=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\}.Nesse caso a integral dupla se escreve como integral iterada com \,dy\,dx: \iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx.Interpretação prática: para cada valor fixo de x entre a e b, y varia entre duas curvas g_1(x) e g_2(x).

Passo 4

Aplicando o Teorema (17.8)(i) ao nosso R:
  • Para um x fixo, qual é a variação de y? Observando a região: y vai da curva inferior y=\sqrt{x} até a reta superior y=2.
  • Qual é o intervalo de x? A região começa em x=0 (lado esquerdo) e vai até o ponto onde a curva encontra y=2, ou seja x=4.
  • Portanto, pelo Teorema (17.8)(i), \iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=\sqrt{x}}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx.

Passo 5

Agora explicar o outro enunciado do teorema:
  • Teorema (17.8)(ii) trata de regiões descritas como R=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\; h_1(y)\le x\le h_2(y)\}.Nesse caso escreveremos a integral dupla como iterada com \,dx\,dy: \iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{y=c}^{d}\left(\int_{x=h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\right)dy.Interpretação prática: para cada y fixo entre c e d, x varia entre duas curvas h_1(y) e h_2(y).

Passo 6

Aplicando o Teorema (17.8)(ii) ao nosso R:
  • Para um y fixo, qual é a variação de x? Observando a região: x vai do eixo x=0 (lado esquerdo) até a parábola x=y^{2} (lado direito).
  • Qual é o intervalo de y? Vai de y=0 até y=2.
  • Portanto, pelo Teorema (17.8)(ii), \iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{y^{2}} f(x,y)\,dx\right)dy.

Passo 7

Verificação rápida (cheia de empatia: “vamos checar se bate” — exemplo concreto para ganhar confiança).
  • Se escolhermos f(x,y)=1 (área de R), ambas as integrais devem dar o mesmo número: \int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{y^{2}} 1\,dx\right)dy =\int_{0}^{2} y^{2}\,dy =\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}.
\int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=\sqrt{x}}^{2} 1\,dy\right)dx =\int_{0}^{4} (2-\sqrt{x})\,dx =\left[2x-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{4} =8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}.
  • Resultado coincide, ótimo — sinal de que as formulações de limites estão corretas.

Passo 8

Resumo final e ânimo: então temos as duas formas pedidas; na prova, reconheça primeiro se o enunciado dá a região como “para cada x …” (usa-se dy\,dx) ou “para cada y …” (usa-se dx\,dy). Aqui fizemos as duas para reforçar — você já domina esse tipo de conversão. Força aí, isso tá certinho!

Resposta

\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=\sqrt{x}}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{y^{2}} f(x,y)\,dx\right)dy

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