Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a primeira derivada e a segunda derivada da função dada. A função fornecida é
Informações importantes dadas:
- A função é explicitamente
com . - A raiz quadrada
é bem definida para todo e é sempre positiva.
Passo 2
Estratégia inicial (substituição): para diferenciar uma composta do tipo
é prático definir a parte interna como uma função separada. Defina
Assim
. Vou usar a regra da cadeia para
, que diz (explicando bem): se
e
depende de
, então a derivada é
Aqui
é a derivada da função interna
. A fórmula vem da derivada de
em relação a
, que é
, multiplicada pela derivada de
pela regra da cadeia.
Passo 3
Calcular
. Lembrando que
. Derivo termo a termo:
- A derivada de
é . - Agora a derivada de
. Reescrevendo e aplicando a regra da potência combinada com a regra da cadeia: se então
Expliquei:
vem da derivada de
em relação a
, e o fator
é a derivada de
em relação a
. Simplificando,
Portanto
Passo 4
Agora aplico a fórmula da derivada de
:
Vou simplificar essa expressão passo a passo. Seja
. Então podemos reescrever:
Substituindo na razão:
Observe que
cancela no numerador e denominador (são exatamente iguais), então sobra
Esse é um resultado simples e elegante: a derivada da função dada é
. Vou explicar rapidamente por que a eliminação funcionou: a forma inicial de
e
foi construída de modo que o fator comum
aparece em ambos, permitindo a cancelamento direto.
Passo 5
Verificação de domínio e comentário intuitivo: como
para todo
, a divisão é válida para todo real, então
existe para todo
.
Passo 6
Agora calculo a segunda derivada
. Já tenho
. Vou usar a regra da potência combinada com a regra da cadeia de novo. Se
, então
Aqui apliquei a derivada de
que é
, e multipliquei pela derivada interna de
, que é
. Agora substituo
e simplifico:
Reescrevendo em forma de fração mais familiar,
Passo 7
Pequena interpretação e dica para a prova (sem pular etapas): quando surgir uma função do tipo
pode-se reconhecer que ela é igual à função hiperbólica inversa
, cuja derivada é conhecida como
. Mas mesmo sem saber essa identidade, o procedimento passo a passo que fiz (substituir
, usar regra da cadeia, simplificar) é rápido e seguro em prova.