Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a primeira derivada e a segunda derivada da função dada. A função fornecida é
y=\ln\!\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr).
Informações importantes dadas:
  • A função é explicitamente y=\ln(u) com u=x+\sqrt{1+x^{2}}.
  • A raiz quadrada \sqrt{1+x^{2}} é bem definida para todo x\in\mathbb{R} e é sempre positiva.

Passo 2

Estratégia inicial (substituição): para diferenciar uma composta do tipo \ln(u) é prático definir a parte interna como uma função separada. Defina
u(x)=x+\sqrt{1+x^{2}}.
Assim y=\ln\!\bigl(u(x)\bigr). Vou usar a regra da cadeia para \ln, que diz (explicando bem): se y=\ln(u) e u=u(x) depende de x, então a derivada é
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x). A fórmula vem da derivada de \ln(t) em relação a t, que é 1/t, multiplicada pela derivada de t=u(x) pela regra da cadeia.

Passo 3

Calcular u'(x). Lembrando que u(x)=x+\sqrt{1+x^{2}}. Derivo termo a termo:
  • A derivada de x é 1.
  • Agora a derivada de \sqrt{1+x^{2}}. Reescrevendo \sqrt{1+x^{2}}=(1+x^{2})^{1/2} e aplicando a regra da potência combinada com a regra da cadeia: se v(x)=(1+x^{2})^{1/2} então
v'(x)=\tfrac{1}{2}(1+x^{2})^{-1/2}\cdot(2x).
Expliquei: \tfrac{1}{2}(1+x^{2})^{-1/2} vem da derivada de t^{1/2} em relação a t, e o fator 2x é a derivada de 1+x^{2} em relação a x. Simplificando,
v'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Portanto
u'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula da derivada de \ln(u):
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{\,x+\sqrt{1+x^{2}}\,}.
Vou simplificar essa expressão passo a passo. Seja \displaystyle s=\sqrt{1+x^{2}}>0. Então podemos reescrever:
u'(x)=1+\frac{x}{s}=\frac{s+x}{s}, \qquad u(x)=x+s.
Substituindo na razão:
y'=\frac{\dfrac{s+x}{s}}{x+s}=\frac{s+x}{s(x+s)}.
Observe que s+x cancela no numerador e denominador (são exatamente iguais), então sobra
y'=\frac{1}{s}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Esse é um resultado simples e elegante: a derivada da função dada é 1/\sqrt{1+x^{2}}. Vou explicar rapidamente por que a eliminação funcionou: a forma inicial de u'(x) e u(x) foi construída de modo que o fator comum s+x aparece em ambos, permitindo a cancelamento direto.

Passo 5

Verificação de domínio e comentário intuitivo: como s=\sqrt{1+x^{2}}>0 para todo x, a divisão é válida para todo real, então y' existe para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Agora calculo a segunda derivada y''. Já tenho y'=(1+x^{2})^{-1/2}. Vou usar a regra da potência combinada com a regra da cadeia de novo. Se y'=(1+x^{2})^{-\tfrac{1}{2}}, então
y''=\frac{d}{dx}\bigl[(1+x^{2})^{-\tfrac{1}{2}}\bigr] = -\tfrac{1}{2}(1+x^{2})^{-\tfrac{3}{2}}\cdot\frac{d}{dx}(1+x^{2}).
Aqui apliquei a derivada de t^{\alpha} que é \alpha t^{\alpha-1}, e multipliquei pela derivada interna de t=1+x^{2}, que é 2x. Agora substituo \dfrac{d}{dx}(1+x^{2})=2x e simplifico:
y''=-\tfrac{1}{2}(1+x^{2})^{-\tfrac{3}{2}}\cdot 2x = -x(1+x^{2})^{-\tfrac{3}{2}}.
Reescrevendo em forma de fração mais familiar,
y''=-\frac{x}{(1+x^{2})^{3/2}}.

Passo 7

Pequena interpretação e dica para a prova (sem pular etapas): quando surgir uma função do tipo \ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) pode-se reconhecer que ela é igual à função hiperbólica inversa \operatorname{arsinh}(x), cuja derivada é conhecida como 1/\sqrt{1+x^{2}}. Mas mesmo sem saber essa identidade, o procedimento passo a passo que fiz (substituir u, usar regra da cadeia, simplificar) é rápido e seguro em prova.

Resposta

y'=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}
y''=-\frac{x}{(1+x^{2})^{3/2}}

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