Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
y=\frac{\ln x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar (a) a primeira derivada e (b) a segunda derivada da função
y=\frac{\ln x}{x^{2}}.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolve o logaritmo natural \ln x e uma potência de x.
  • O domínio natural desta função é x>0 (porque \ln x exige x>0).
O que vou entregar: \,y'\, e \,y''.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vou usar (explicadas com calma):
  • É conveniente reescrever a função como produto, para aplicar a regra do produto mais facilmente:
y = x^{-2}\ln x.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Isso significa: derive a primeira mantendo a segunda, mais derive a segunda mantendo a primeira.
  • Derivada do logaritmo natural: para x>0,
\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer n real,
\frac{d}{dx}(x^{n}) = n x^{n-1}.
Exemplo curto para fixar: se v(x)=x^{-2} então, pela regra da potência,
v'(x) = -2 x^{-3}.

Passo 3

Cálculo da primeira derivada \,y'.
Escrevo y como produto de duas funções:
u(x)=\ln x,\qquad v(x)=x^{-2}.
Calculando as derivadas das partes:
u'(x)=\frac{1}{x}, \qquad v'(x)=-2x^{-3}.
Agora aplico a regra do produto:
y' = u'v + uv' = \frac{1}{x}\cdot x^{-2} + \ln x\cdot(-2x^{-3}).
Simplifico termo a termo:
\frac{1}{x}\cdot x^{-2} = x^{-3}, \qquad \ln x\cdot(-2x^{-3}) = -2\ln x\,x^{-3}.
Somando:
y' = x^{-3} - 2\ln x\,x^{-3} = x^{-3}(1 - 2\ln x).
Forma usualmente mais limpa:
\boxed{y'=\frac{1-2\ln x}{x^{3}}.}

Passo 4

Comentário sobre existência: como esperado, \,y' existe para x>0 (onde a função original está definida). A expressão \dfrac{1-2\ln x}{x^{3}} é válida para todo x>0.

Passo 5

Cálculo da segunda derivada \,y''.
Vou derivar a expressão que obtivemos para y':
y'=(1-2\ln x)\,x^{-3}.
Novamente aplico a regra do produto. Defino:
a(x)=1-2\ln x,\qquad b(x)=x^{-3}.
Derivadas das partes:
a'(x)=-2\cdot\frac{1}{x}=-\frac{2}{x}, \qquad b'(x)=-3x^{-4}.
Aplicando a regra do produto:
y'' = a'b + ab' = \left(-\frac{2}{x}\right)x^{-3} + (1-2\ln x)\left(-3x^{-4}\right).
Simplifico cada termo:
\left(-\frac{2}{x}\right)x^{-3} = -2x^{-4},
(1-2\ln x)\left(-3x^{-4}\right) = -3(1-2\ln x)x^{-4}.
Somando:
y'' = \left[-2 -3(1-2\ln x)\right]x^{-4}.
Distribuo o -3:
-2 -3(1-2\ln x) = -2 -3 +6\ln x = 6\ln x -5.
Portanto
\boxed{y''=\frac{6\ln x - 5}{x^{4}}.}

Passo 6

Pequena verificação rápida por consistência: as potências de x na derivada segunda são esperadas (denominador x^{4}), e o termo em \ln x surge com coeficiente 6 conforme os fatores acumulados pelas derivações. Tudo coerente com os passos anteriores. Lembre-se: todas estas expressões valem para x>0.

Resposta

y'=\dfrac{1-2\ln x}{x^{3}}
y''=\dfrac{6\ln x-5}{x^{4}}

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