Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar (a) a primeira derivada e (b) a segunda derivada da função
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A função envolve o logaritmo natural
e uma potência de . - O domínio natural desta função é
(porque exige ).
O que vou entregar:
e
.
Passo 2
Estratégia e fórmulas que vou usar (explicadas com calma):
- É conveniente reescrever a função como produto, para aplicar a regra do produto mais facilmente:
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isso significa: derive a primeira mantendo a segunda, mais derive a segunda mantendo a primeira.
- Derivada do logaritmo natural: para
,
- Regra da potência (power rule): para qualquer
real,
Exemplo curto para fixar: se
então, pela regra da potência,
Passo 3
Cálculo da primeira derivada
.
Escrevo como produto de duas funções:
Escrevo
Calculando as derivadas das partes:
Agora aplico a regra do produto:
Simplifico termo a termo:
Somando:
Forma usualmente mais limpa:
Passo 4
Comentário sobre existência: como esperado,
existe para
(onde a função original está definida). A expressão
é válida para todo
.
Passo 5
Cálculo da segunda derivada
.
Vou derivar a expressão que obtivemos para :
Vou derivar a expressão que obtivemos para
Novamente aplico a regra do produto. Defino:
Derivadas das partes:
Aplicando a regra do produto:
Simplifico cada termo:
Somando:
Distribuo o
:
Portanto
Passo 6
Pequena verificação rápida por consistência: as potências de
na derivada segunda são esperadas (denominador
), e o termo em
surge com coeficiente
conforme os fatores acumulados pelas derivações. Tudo coerente com os passos anteriores. Lembre-se: todas estas expressões valem para
.