Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
y=x^3+1, x+2 y=2, x=1; em torno do eixo y.

Passo 1

A região R é delimitada pelas curvas y = x³ + 1 (uma função cúbica), pela reta x + 2y = 2 (ou y = (2–x)/2) e pela reta vertical x = 1. Vamos usar o método das cascas cilíndricas para o eixo y, o que exige expressar raio e altura de uma casca típica em função de x.

Passo 2

Primeiro encontramos a abscissa em que a cúbica e a reta se cruzam, resolvendo x³ + 1 = (2 – x)/2. Multiplicando por 2 dá 2x³ + 2 = 2 – x, isto é, 2x³ + x = 0, logo x(2x² + 1) = 0. A única solução real é x = 0. Portanto x varia de 0 a 1.

Passo 3

Para uma casca em abscissa x, o raio até o eixo y é x. A altura da casca é a diferença entre o valor maior e o menor de y no intervalo, ou seja: altura = y_top – y_bot = (x³ + 1) – ((2 – x)/2).

Passo 4

Simplificando essa altura:
(x³ + 1) - 2 - x2 = 2x³ + 2 - 2 + x2 = 2x³ + x2 = x(2x² + 1)2 ³³³²

Passo 5

A fórmula do volume pelo método das cascas é
V = integralx=0^1 2pi ,(raio), (a²

Passo 6

Agora basta calcular essa integral:
integral0^1 (2x^4 + x^2) ,dx = 2cdot x^55g|0^1 + x^33g|0^1 = 25 + 13 = 6 + 515 = 1115

Passo 7

Multiplicando por pi, o volume final é V = 11pi15.

Resposta

11pi15

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