Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado. ; em torno do eixo .
Passo 1
A região R é delimitada pelas curvas y = x³ + 1 (uma função cúbica), pela reta x + 2y = 2 (ou y = (2–x)/2) e pela reta vertical x = 1. Vamos usar o método das cascas cilíndricas para o eixo y, o que exige expressar raio e altura de uma casca típica em função de x.
Passo 2
Primeiro encontramos a abscissa em que a cúbica e a reta se cruzam, resolvendo x³ + 1 = (2 – x)/2. Multiplicando por 2 dá 2x³ + 2 = 2 – x, isto é, 2x³ + x = 0, logo x(2x² + 1) = 0. A única solução real é x = 0. Portanto x varia de 0 a 1.
Passo 3
Para uma casca em abscissa x, o raio até o eixo y é x. A altura da casca é a diferença entre o valor maior e o menor de y no intervalo, ou seja: altura = y_top – y_bot = (x³ + 1) – ((2 – x)/2).
Passo 4
Simplificando essa altura:
Passo 5
A fórmula do volume pelo método das cascas é
Passo 6
Agora basta calcular essa integral:
Passo 7
Multiplicando por pi, o volume final é V = 11pi15.