Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
y=1 / x, x=1, x=2, y=0; em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar a região R limitada por y = 1/x, x = 1, x = 1 e y = 0, e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y, usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Para visualizar R, imaginamos o gráfico de y = 1/x decaindo, o eixo x (y = 0) como base, e as retas verticais x = 1 e x = 2 como fronteiras esquerda e direita. A região fica “debaixo” da curva entre x = 1 e x = 2.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas (revolução em torno de y), cada casca em abscissa x tem raio igual a x, altura igual à diferença entre o valor de cima e de baixo da região, ou seja, 1/x − 0 = 1/x, e espessura dx. O volume de cada casca é 2π·(raio)·(altura)·dx, logo
[\displaystyle V=\int_{x=1}{2}2\pi,x\cdot\frac{1}{x},dx=2\pi\int_{1}{2}1,dx,.]

Passo 4

Basta agora avaliar a integral:
[\displaystyle 2\pi\int_{1}{2}1,dx=2\pi[x]_{1}{2}=2\pi(2-1)=2\pi,.]

Resposta

2pi

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