Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado nos pede para esboçar a região R limitada por y = 1/x, x = 1, x = 1 e y = 0, e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y, usando o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Para visualizar R, imaginamos o gráfico de y = 1/x decaindo, o eixo x (y = 0) como base, e as retas verticais x = 1 e x = 2 como fronteiras esquerda e direita. A região fica “debaixo” da curva entre x = 1 e x = 2.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas (revolução em torno de y), cada casca em abscissa x tem raio igual a x, altura igual à diferença entre o valor de cima e de baixo da região, ou seja, 1/x − 0 = 1/x, e espessura dx. O volume de cada casca é 2π·(raio)·(altura)·dx, logo
[\displaystyle V=\int_{x=1}{2}2\pi,x\cdot\frac{1}{x},dx=2\pi\int_{1}{2}1,dx,.]
[\displaystyle V=\int_{x=1}{2}2\pi,x\cdot\frac{1}{x},dx=2\pi\int_{1}{2}1,dx,.]
Passo 4
Basta agora avaliar a integral:
[\displaystyle 2\pi\int_{1}{2}1,dx=2\pi[x]_{1}{2}=2\pi(2-1)=2\pi,.]
[\displaystyle 2\pi\int_{1}{2}1,dx=2\pi[x]_{1}{2}=2\pi(2-1)=2\pi,.]