Esboce a região delimitada pelos paraboloides
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região em
R³ limitada pelos paraboloides
e
. O conteúdo da matéria envolve interseção de superfícies e representação de regiões sólidas em 3D; vamos precisar encontrar onde as duas superfícies se cruzam e depois descrever os limites dessa região.
R³ limitada pelos paraboloides
Passo 2
Para achar a curva de interseção, igualamos as duas expressões de
e resolvemos para
e
:
Nesse círculo de raio 1 temos ainda
.
Passo 3
A região sólida consiste de todos os pontos
cujo projétil no plano
está dentro do disco
, e cuja coordenada
varia entre o paraboloide que abre para cima e o que abre para baixo. Em fórmula de conjunto:
Passo 4
Para esboçar, desenhe os eixos
, depois o paraboloide inferior com vértice na origem (abre para cima) e o superior com vértice em
(abre para baixo). A curva de interseção aparece como um círculo de raio 1 no plano
. O sólido fica “entalado” entre essas superfícies, formando uma lente curva.
Resposta
A região é o sólido definido por
que corresponde a um “sanduíche” entre o paraboloide que abre para cima e o que abre para baixo, intersectando-se numa circunferência de raio 1 a
.