Esboce a região delimitada pelos paraboloides z=x^2+y^2 e z=2-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região em
R³ limitada pelos paraboloides
z = x^2 + y^2 e
z = 2 - x^2 - y^2. O conteúdo da matéria envolve interseção de superfícies e representação de regiões sólidas em 3D; vamos precisar encontrar onde as duas superfícies se cruzam e depois descrever os limites dessa região.

Passo 2

Para achar a curva de interseção, igualamos as duas expressões de z e resolvemos para x e y:
x^2 + y^2 = 2 - x^2 - y^2
2(x^2 + y^2) = 2
x^2 + y^2 = 1
Nesse círculo de raio 1 temos ainda z = 1.

Passo 3

A região sólida consiste de todos os pontos (x,y,z) cujo projétil no plano xy está dentro do disco x^2+y^2 <= 1, e cuja coordenada z varia entre o paraboloide que abre para cima e o que abre para baixo. Em fórmula de conjunto:
(x,y,z) in R^3 : x^2+y^2 <= 1,; x^2+y^2 <= z <= 2 - x^2 - y^2

Passo 4

Para esboçar, desenhe os eixos x,y,z, depois o paraboloide inferior com vértice na origem (abre para cima) e o superior com vértice em (0,0,2) (abre para baixo). A curva de interseção aparece como um círculo de raio 1 no plano z=1. O sólido fica “entalado” entre essas superfícies, formando uma lente curva.

Resposta

A região é o sólido definido por
(x,y,z) in R^3 : x^2+y^2 <= 1,; x^2+y^2 <= z <= 2 - x^2 - y^2
que corresponde a um “sanduíche” entre o paraboloide que abre para cima e o que abre para baixo, intersectando-se numa circunferência de raio 1 a z=1.

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