Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas dadas pelas equações:
,
e
. Determine o volume do sólido obtido com a rotação desta região, em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Esboçar a região do plano limitada simultaneamente por
, , e . - Determinar o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno da reta
.
Informações dadas (importantes para a resolução):
- A região está entre
e . - Para os extremos em
temos e . - O eixo de rotação é a reta horizontal
.
Passo 2
Desenho mental (esboço) e ideia geométrica básica:
- A curva
é uma exponencial crescente. Em vale e em vale (valor maior que ). - A região pedida é o conjunto de pontos com
e — isto é, a área sob a exponencial, acima do eixo , entre e . - A reta de rotação
corta essa região para alguns (para tal que ) e fica acima da região para outros . Por isso, ao usar o método dos discos/aros precisamos dividir a integração em intervalos onde a relação entre a reta e o segmento vertical da região é diferente.
Vou determinar os pontos críticos em
onde muda a posição relativa de
e de
. Resolve-se
e
(o segundo será útil mais abaixo).
- Solução de
: então . Denoto este ponto por . - Solução de
: então . Denoto este ponto por .
Valores aproximados para intuição:
e
.
Passo 3
Escolha do método e justificativa passo a passo:
- Como o eixo de rotação é horizontal (
) e a região é dada naturalmente por em função de , o método dos discos/aros (integração em ) é o mais direto. - Para um
fixo a peça vertical da região vai de até . Ao girar essa peça em torno de obtemos, dependendo de , uma região circular com possível furo (um anel) ou um disco sólido. Assim o elemento de volume é
onde
é o raio externo (distância do eixo
ao ponto mais afastado do segmento vertical) e
é o raio interno (distância do eixo ao ponto mais próximo do segmento), medidos em função de
.
Precisamos considerar os três intervalos de
em que a configuração muda:
- Intervalo A:
onde . Aqui toda a peça está abaixo de . Então as distâncias ao eixo são: - distância até
é , - distância até
é .
Assime . A área do anel é
- distância até
- Intervalo B:
onde . Aqui o eixo está dentro do segmento vertical (ou seja, a peça cruza o eixo). Nesse caso o segmento rotacionado engloba o próprio eixo, então o furo desaparece e o sólido gerado em cada fatia é um disco cujo raio é a maior distância entre o eixo e as extremidades do segmento. Para neste intervalo a maior distância é sempre (a extremidade está a distância , e a extremidade superior está a uma distância ), portanto o raio do disco é e - Intervalo C:
onde . Aqui o pedaço superior dá a maior distância ao eixo: a distância até é que já é maior que . O eixo ainda está dentro do segmento vertical, então não há furo interno e o disco gerado tem raio . Assim
Passo 4
Escrever a integral total do volume como soma das integrais nos três intervalos:
com
e
.
Agora vou calcular cada uma das três integrais separadamente, mostrando as primitivas.
Passo 5
Cálculo da primeira integral
Calculo das primitivas termo a termo:
Logo
Substituindo
e
: como
e
, e em
temos
,
Passo 6
Cálculo da segunda integral
Como
, resulta
Passo 7
Cálculo da terceira integral
Primitiva termo a termo:
Portanto
Calculo nos limites: em
temos
e
; em
temos
e
. Assim
Simplificando a parte da direita:
Então
Passo 8
Soma das três parcelas para obter o volume total:
Substituindo os resultados:
Agrupando termos semelhantes (colocando em fator comum
e simplificando os termos com
):
Somando
e escrevendo em fator
fica uma forma compacta:
Para ter uma ideia numérica, avaliando aproximadamente os termos dá
Resposta
Esboço: região com
e
(curva exponencial passando por
e
), acima de
e entre
e
.
Volume: