Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas dadas pelas equações: y=e^{2 x}, y=0, x=1 e x=0. Determine o volume do sólido obtido com a rotação desta região, em torno da reta y=2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar a região do plano limitada simultaneamente por y=e^{2x}, y=0, x=0 e x=1.
  • Determinar o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno da reta y=2.
Informações dadas (importantes para a resolução):
  • A região está entre x=0 e x=1.
  • Para os extremos em x temos y=e^{2\cdot 0}=e^{0}=1 e y=e^{2\cdot 1}=e^{2}.
  • O eixo de rotação é a reta horizontal y=2.

Passo 2

Desenho mental (esboço) e ideia geométrica básica:
  • A curva y=e^{2x} é uma exponencial crescente. Em x=0 vale 1 e em x=1 vale e^{2} (valor maior que 2).
  • A região pedida é o conjunto de pontos com 0\le x\le1 e 0\le y\le e^{2x} — isto é, a área sob a exponencial, acima do eixo y=0, entre x=0 e x=1.
  • A reta de rotação y=2 corta essa região para alguns x (para x tal que e^{2x}\ge2) e fica acima da região para outros x. Por isso, ao usar o método dos discos/aros precisamos dividir a integração em intervalos onde a relação entre a reta e o segmento vertical da região é diferente.
Vou determinar os pontos críticos em x onde muda a posição relativa de y=2 e de y=e^{2x}. Resolve-se e^{2x}=2 e e^{2x}=4 (o segundo será útil mais abaixo).
  • Solução de e^{2x}=2: 2x=\ln 2 então x=\dfrac{\ln 2}{2}. Denoto este ponto por x_0=\dfrac{\ln 2}{2}.
  • Solução de e^{2x}=4: 2x=\ln 4 então x=\ln 2. Denoto este ponto por x_1=\ln 2.
Valores aproximados para intuição: x_0\approx0,3466 e x_1\approx0,6931.

Passo 3

Escolha do método e justificativa passo a passo:
  • Como o eixo de rotação é horizontal ( y=2) e a região é dada naturalmente por y em função de x, o método dos discos/aros (integração em x) é o mais direto.
  • Para um x fixo a peça vertical da região vai de y=0 até y=e^{2x}. Ao girar essa peça em torno de y=2 obtemos, dependendo de x, uma região circular com possível furo (um anel) ou um disco sólido. Assim o elemento de volume é
dV=\pi\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx,
onde R(x) é o raio externo (distância do eixo y=2 ao ponto mais afastado do segmento vertical) e r(x) é o raio interno (distância do eixo ao ponto mais próximo do segmento), medidos em função de x.
Precisamos considerar os três intervalos de x em que a configuração muda:
  • Intervalo A: 0\le x\le x_0 onde e^{2x}\le2. Aqui toda a peça está abaixo de y=2. Então as distâncias ao eixo são:
    • distância até y=0 é 2-0=2,
    • distância até y=e^{2x} é 2-e^{2x}.
      Assim R(x)=2 e r(x)=2-e^{2x}. A área do anel é
    A(x)=\pi\bigl(2^2 - (2-e^{2x})^2\bigr)=\pi\bigl(4 - (4 -4e^{2x}+e^{4x})\bigr)=\pi\bigl(4e^{2x}-e^{4x}\bigr).
  • Intervalo B: x_0\le x\le x_1 onde 2\le e^{2x}\le4. Aqui o eixo y=2 está dentro do segmento vertical (ou seja, a peça cruza o eixo). Nesse caso o segmento rotacionado engloba o próprio eixo, então o furo desaparece e o sólido gerado em cada fatia é um disco cujo raio é a maior distância entre o eixo e as extremidades do segmento. Para x neste intervalo a maior distância é sempre 2 (a extremidade y=0 está a distância 2, e a extremidade superior está a uma distância e^{2x}-2\le2), portanto o raio do disco é 2 e A(x)=\pi\cdot 2^2 = 4\pi.
  • Intervalo C: x_1\le x\le1 onde e^{2x}\ge4. Aqui o pedaço superior dá a maior distância ao eixo: a distância até y=e^{2x} é e^{2x}-2 que já é maior que 2. O eixo ainda está dentro do segmento vertical, então não há furo interno e o disco gerado tem raio e^{2x}-2. Assim A(x)=\pi\bigl(e^{2x}-2\bigr)^2.

Passo 4

Escrever a integral total do volume como soma das integrais nos três intervalos:
V=\int_{0}^{x_0}\pi\bigl(4e^{2x}-e^{4x}\bigr)\,dx +\int_{x_0}^{x_1}4\pi\,dx +\int_{x_1}^{1}\pi\bigl(e^{2x}-2\bigr)^2\,dx,
com x_0=\dfrac{\ln 2}{2} e x_1=\ln 2.
Agora vou calcular cada uma das três integrais separadamente, mostrando as primitivas.

Passo 5

Cálculo da primeira integral
I_1=\int_{0}^{x_0}\pi\bigl(4e^{2x}-e^{4x}\bigr)\,dx.
Calculo das primitivas termo a termo:
  • \displaystyle \int 4e^{2x}\,dx = 4\cdot\frac{1}{2}e^{2x}=2e^{2x}.
  • \displaystyle \int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x}.
Logo
I_1=\pi\Bigl[2e^{2x}-\frac{1}{4}e^{4x}\Bigr]_{0}^{x_0}.
Substituindo x_0 e 0: como e^{2x_0}=2 e e^{4x_0}=4, e em x=0 temos e^{0}=1,
I_1=\pi\Bigl(\bigl(2\cdot 2-\tfrac{1}{4}\cdot 4\bigr)-\bigl(2\cdot 1-\tfrac{1}{4}\cdot 1\bigr)\Bigr) =\pi\Bigl(4-1-(2-\tfrac{1}{4})\Bigr)=\pi\Bigl(3-\tfrac{7}{4}\Bigr)=\pi\cdot\tfrac{5}{4}.

Passo 6

Cálculo da segunda integral
I_2=\int_{x_0}^{x_1}4\pi\,dx = 4\pi\,(x_1-x_0).
Como x_1-x_0=\ln 2 - \dfrac{\ln 2}{2}=\dfrac{\ln 2}{2}, resulta
I_2=4\pi\cdot\dfrac{\ln 2}{2}=2\pi\ln 2.

Passo 7

Cálculo da terceira integral
I_3=\int_{x_1}^{1}\pi\bigl(e^{2x}-2\bigr)^2\,dx =\pi\int_{x_1}^{1}\bigl(e^{4x}-4e^{2x}+4\bigr)\,dx.
Primitiva termo a termo:
  • \displaystyle \int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x}.
  • \displaystyle \int -4e^{2x}\,dx = -4\cdot\frac{1}{2}e^{2x}=-2e^{2x}.
  • \displaystyle \int 4\,dx = 4x.
Portanto
I_3=\pi\Bigl[\frac{1}{4}e^{4x}-2e^{2x}+4x\Bigr]_{x_1}^{1}.
Calculo nos limites: em x=1 temos e^{2}=e^{2} e e^{4}=e^{4}; em x_1=\ln 2 temos e^{2x_1}=4 e e^{4x_1}=16. Assim
I_3=\pi\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{4}e^{4}-2e^{2}+4\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 16 -2\cdot 4 +4\ln 2\bigr)\Bigr).
Simplificando a parte da direita:
\tfrac{1}{4}\cdot 16 -2\cdot 4 +4\ln 2 = 4-8+4\ln 2 = -4+4\ln 2.
Então
I_3=\pi\Bigl(\tfrac{1}{4}e^{4}-2e^{2}+4 -(-4+4\ln 2)\Bigr) =\pi\Bigl(\tfrac{1}{4}e^{4}-2e^{2}+8-4\ln 2\Bigr).

Passo 8

Soma das três parcelas para obter o volume total:
V=I_1+I_2+I_3.
Substituindo os resultados:
V=\pi\cdot\tfrac{5}{4} + 2\pi\ln 2 + \pi\Bigl(\tfrac{1}{4}e^{4}-2e^{2}+8-4\ln 2\Bigr).
Agrupando termos semelhantes (colocando em fator comum \pi e simplificando os termos com \ln 2):
V=\pi\Bigl(\tfrac{1}{4}e^{4}-2e^{2}+8+\tfrac{5}{4} -2\ln 2\Bigr).
Somando 8+\tfrac{5}{4}=\tfrac{37}{4} e escrevendo em fator \tfrac{1}{4} fica uma forma compacta:
V=\dfrac{\pi}{4}\Bigl(e^{4}-8e^{2}+37-8\ln 2\Bigr).
Para ter uma ideia numérica, avaliando aproximadamente os termos dá
V\approx 21,15\quad\text{(unidades de volume)}.

Resposta

Esboço: região com 0\le x\le1 e 0\le y\le e^{2x} (curva exponencial passando por (0,1) e (1,e^{2})), acima de y=0 e entre x=0 e x=1.
Volume:
V=\dfrac{\pi}{4}\Bigl(e^{4}-8e^{2}+37-8\ln 2\Bigr)\approx 21,15.

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