6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada), isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}.
    Nada mais é pedido explicitamente (somar a constante de integração C no final).

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão usando regras de potências para dividir por \sqrt{x}. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2} e que, para potências com mesma base,
x^{a}\!/x^{b}=x^{a-b}.
Aplicando isso a cada termo do numerador:
\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}=x^{2-\tfrac{1}{2}}=x^{\tfrac{3}{2}}, \qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\tfrac{1}{2}}.
Portanto a integral fica
\int \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}\,dx=\int\bigl(x^{\tfrac{3}{2}}+x^{-\tfrac{1}{2}}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora vamos usar a regra básica de integração de potências. Regra (power rule):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad \text{válido para } n\neq -1.á
Aqui n é o expoente da potência; a fórmula diz que para integrar x^{n} somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente. Sempre lembrar do +C no final (constante de integração).

Passo 4

Aplicando a regra ao primeiro termo x^{\tfrac{3}{2}}:
  • Aqui n=\tfrac{3}{2}.
  • Então
\int x^{\tfrac{3}{2}}\,dx=\frac{x^{\tfrac{3}{2}+1}}{\tfrac{3}{2}+1}=\frac{x^{\tfrac{5}{2}}}{\tfrac{5}{2}}.
Dividir por \tfrac{5}{2} é o mesmo que multiplicar por \tfrac{2}{5}, então
\int x^{\tfrac{3}{2}}\,dx=\frac{2}{5}\,x^{\tfrac{5}{2}}.

Passo 5

Aplicando a regra ao segundo termo x^{-\tfrac{1}{2}}:
  • Aqui n=-\tfrac{1}{2}.
  • Então
\int x^{-\tfrac{1}{2}}\,dx=\frac{x^{-\tfrac{1}{2}+1}}{-\tfrac{1}{2}+1}=\frac{x^{\tfrac{1}{2}}}{\tfrac{1}{2}}.
Dividir por \tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar por 2, logo
\int x^{-\tfrac{1}{2}}\,dx=2\,x^{\tfrac{1}{2}}.

Passo 6

Somando as antiderivadas dos dois termos e incluindo a constante de integração C, a primitiva geral é
\frac{2}{5}\,x^{\tfrac{5}{2}}+2\,x^{\tfrac{1}{2}}+C.
Para conferir mentalmente: derivando essa expressão usando a regra da potência volta-se ao integrando original \,x^{\tfrac{3}{2}}+x^{-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}\,, então está correta.

Resposta

\dfrac{2}{5}x^{\tfrac{5}{2}}+2x^{\tfrac{1}{2}}+C

Exercícios relacionados