Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada), isto é, uma expressão
tal que .
Nada mais é pedido explicitamente (somar a constante de integraçãono final).
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão usando regras de potências para dividir por
. Lembre que
e que, para potências com mesma base,
Aplicando isso a cada termo do numerador:
Portanto a integral fica
Passo 3
Agora vamos usar a regra básica de integração de potências. Regra (power rule):
Aqui
é o expoente da potência; a fórmula diz que para integrar
somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente. Sempre lembrar do
no final (constante de integração).
Passo 4
Aplicando a regra ao primeiro termo
:
- Aqui
. - Então
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então
Passo 5
Aplicando a regra ao segundo termo
:
- Aqui
. - Então
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, logo
Passo 6
Somando as antiderivadas dos dois termos e incluindo a constante de integração
, a primitiva geral é
Para conferir mentalmente: derivando essa expressão usando a regra da potência volta-se ao integrando original
, então está correta.