Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, um
tal que .
Vou proceder por substituição, porque dentro da raiz aparececuja derivada é proporcional a , e na integranda há fatores em que permitem essa troca de variável.
Passo 2
Escolha da substituição. Defino a nova variável
Por que essa escolha? Porque a expressão dentro da raiz é exatamente
e ao derivar essa expressão em relação a
obtém-se uma quantidade proporcional a
, o que facilita trocar
por
.
Passo 3
Calcule
e expresse
em função de
e
.
Derivando em relação a
obtemos
Derivando
Além disso, da definição de
temos
Assim
Passo 4
Substituição na integral original. A raiz fica
. Portanto
Multiplicando os fatores:
Passo 5
Integração termo a termo usando a fórmula de potências. Lembre-se da regra básica:
Aplicando com
e
:
Então
Passo 6
Simplificar as constantes numéricas.
Calcule cada coeficiente:
Calcule cada coeficiente:
Portanto a primitiva fica
Passo 7
Voltar à variável original
substituindo
. Assim a antiderivada final é
Pequeno reforço: se quiser verificar, basta derivar essa expressão e conferir que volta a dar
. Você consegue fazer essa verificação na prova para ganhar segurança.