6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int x^{3} \sqrt{9+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\sqrt{9+4x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{3}\sqrt{9+4x^{2}}.
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, um F(x) tal que F'(x)=x^{3}\sqrt{9+4x^{2}}.
    Vou proceder por substituição, porque dentro da raiz aparece 9+4x^{2} cuja derivada é proporcional a x, e na integranda há fatores em x que permitem essa troca de variável.

Passo 2

Escolha da substituição. Defino a nova variável
u = 9+4x^{2}.
Por que essa escolha? Porque a expressão dentro da raiz é exatamente 9+4x^{2} e ao derivar essa expressão em relação a x obtém-se uma quantidade proporcional a x, o que facilita trocar x\,dx por du.

Passo 3

Calcule du e expresse x^{3}dx em função de u e du.
Derivando u em relação a x obtemos
du = 8x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{8}.
Além disso, da definição de u temos
x^{2}=\frac{u-9}{4}.
Assim
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = \left(\frac{u-9}{4}\right)\cdot\frac{du}{8} = \frac{u-9}{32}\,du.

Passo 4

Substituição na integral original. A raiz fica \sqrt{9+4x^{2}}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Portanto
\int x^{3}\sqrt{9+4x^{2}}\,dx = \int \left(\frac{u-9}{32}\right)u^{1/2}\,du.
Multiplicando os fatores:
\int \left(\frac{u-9}{32}\right)u^{1/2}\,du = \frac{1}{32}\int \bigl(u^{3/2}-9u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Integração termo a termo usando a fórmula de potências. Lembre-se da regra básica:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\quad \text{para } n\neq -1.
Aplicando com n=\tfrac{3}{2} e n=\tfrac{1}{2}:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}u^{5/2}, \qquad \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Então
\frac{1}{32}\int \bigl(u^{3/2}-9u^{1/2}\bigr)\,du = \frac{1}{32}\left(\frac{2}{5}u^{5/2}-9\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\right)+C.

Passo 6

Simplificar as constantes numéricas.
Calcule cada coeficiente:
\frac{1}{32}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{160}=\frac{1}{80}, \qquad \frac{1}{32}\cdot 9\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{32}\cdot 6=\frac{6}{32}=\frac{3}{16}.
Portanto a primitiva fica
\frac{1}{80}u^{5/2}-\frac{3}{16}u^{3/2}+C.

Passo 7

Voltar à variável original x substituindo u=9+4x^{2}. Assim a antiderivada final é
\frac{1}{80}\bigl(9+4x^{2}\bigr)^{5/2}-\frac{3}{16}\bigl(9+4x^{2}\bigr)^{3/2}+C.
Pequeno reforço: se quiser verificar, basta derivar essa expressão e conferir que volta a dar x^{3}\sqrt{9+4x^{2}}. Você consegue fazer essa verificação na prova para ganhar segurança.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{80}\bigl(9+4x^{2}\bigr)^{5/2}-\frac{3}{16}\bigl(9+4x^{2}\bigr)^{3/2}+C

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