Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=e^{-x} ;\quad y=e^{2 x}, y=e^{-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região do plano limitada simultaneamente pelas curvas dadas e calcular a área dessa região.
Informações fornecidas:
  • As três curvas são y=e^{-x}, y=e^{2x} e y=e^{-1}.
  • O objetivo é encontrar a região fechada que tem fronteira composta por partes dessas curvas e, em seguida, calcular a área dessa região.
(Pausa curta: a resolução começará a calcular interseções e a identificar qual curva forma cada parte da fronteira a seguir.)

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas (isso nos dá os limites do domínio da região).
  1. Interseção entre y=e^{-x} e y=e^{2x}. Igualando:
e^{-x}=e^{2x}\quad\Rightarrow\quad -x=2x\quad\Rightarrow\quad 3x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
O valor de y em x=0 é y=e^{0}=1. Logo um ponto de interseção é (0,1).
  1. Interseção entre y=e^{-x} e y=e^{-1}. Igualando:
e^{-x}=e^{-1}\quad\Rightarrow\quad -x=-1\quad\Rightarrow\quad x=1.
O ponto é (1,e^{-1}).
  1. Interseção entre y=e^{2x} e y=e^{-1}. Igualando:
e^{2x}=e^{-1}\quad\Rightarrow\quad 2x=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2}.
O ponto é (-\tfrac{1}{2},e^{-1}).
Assim, as três interseções relevantes são (-\tfrac{1}{2},e^{-1}), (0,1) e (1,e^{-1}).

Passo 3

Entender como as curvas se posicionam entre x=-\tfrac{1}{2} e x=1 para saber qual é o limite superior e qual é o limite inferior da região.
  • A reta horizontal y=e^{-1} é constante e serve como limite inferior em parte da fronteira.
  • Para comparar y=e^{-x} e y=e^{2x}: quando x<0 tem-se e^{-x}>e^{2x}; quando x>0 tem-se e^{2x}>e^{-x}. Em x=0 ambas valem 1.
  • Nos extremos que encontramos: em x=-\tfrac{1}{2} a curva y=e^{2x} toca y=e^{-1} (altura da região ali é zero); em x=1 a curva y=e^{-x} toca y=e^{-1} (altura também zero). Entre esses dois x a região está “em pé” sobre a linha y=e^{-1} e limitada por uma das exponenciais por cima.
  • Mais precisamente:
    • Para x\in[-\tfrac{1}{2},0] temos e^{2x}\le e^{-x}, logo o teto da região (a curva superior mais baixa) é y=e^{2x}.
    • Para x\in[0,1] temos e^{-x}\le e^{2x}, logo o teto da região é y=e^{-x}.
Portanto a região fechada tem projeção no eixo x igual ao intervalo \left[-\tfrac{1}{2},1\right], com limite inferior y=e^{-1} e limite superior dado por
y_{\text{sup}}(x)=\begin{cases} e^{2x}, & -\tfrac{1}{2}\le x\le 0,\\[4pt] e^{-x}, & 0\le x\le 1. \end{cases}]

Passo 4

Configurar a integral que dá a área. A área é a integral da altura vertical (teto menos piso) em relação a x. Como o teto muda em x=0, dividimos em duas integrais:
\text{Área}=\int_{-\tfrac{1}{2}}^{0}\bigl(e^{2x}-e^{-1}\bigr)\,dx +\int_{0}^{1}\bigl(e^{-x}-e^{-1}\bigr)\,dx.Á
Explicação rápida de técnica usada (integral definida): para uma região entre curvas y=f(x) (em cima) e y=g(x) (em baixo) sobre um intervalo [a,b], a área é \int_a^b (f(x)-g(x))\,dx. Aqui aplicamos isso peça a peça.

Passo 5

Calcular a primeira integral \displaystyle \int_{-\tfrac{1}{2}}^{0}\bigl(e^{2x}-e^{-1}\bigr)\,dx.
  • Antiderivada de e^{2x} é \dfrac{1}{2}e^{2x}, porque \dfrac{d}{dx}\!\bigl(\tfrac{1}{2}e^{2x}\bigr)=e^{2x}.
  • Antiderivada de e^{-1} (constante) é e^{-1}x.
Assim
\int_{-\tfrac{1}{2}}^{0}\bigl(e^{2x}-e^{-1}\bigr)\,dx =\left[\tfrac{1}{2}e^{2x}-e^{-1}x\right]_{x=-\tfrac{1}{2}}^{x=0}.
Avaliação:
\left(\tfrac{1}{2}e^{0}-e^{-1}\cdot 0\right)-\left(\tfrac{1}{2}e^{-1}-e^{-1}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\right) =\tfrac{1}{2}-\left(\tfrac{1}{2}e^{-1}+\tfrac{1}{2}e^{-1}\right) =\tfrac{1}{2}-e^{-1}.
Reescrevendo esse resultado de forma que fique claro:
\int_{-\tfrac{1}{2}}^{0}\bigl(e^{2x}-e^{-1}\bigr)\,dx=\tfrac{1}{2}-e^{-1}.
(Antes de seguir: verificação rápida usando fator comum: \tfrac{1}{2}(1-e^{-1})-\tfrac{1}{2}e^{-1}=\tfrac{1}{2}-e^{-1}, corresponde ao cálculo.)

Passo 6

Calcular a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{1}\bigl(e^{-x}-e^{-1}\bigr)\,dx.
  • Antiderivada de e^{-x} é -e^{-x}, porque \dfrac{d}{dx}(-e^{-x})=e^{-x}.
  • Antiderivada de e^{-1} é e^{-1}x.
Assim
\int_{0}^{1}\bigl(e^{-x}-e^{-1}\bigr)\,dx =\left[-e^{-x}-e^{-1}x\right]_{0}^{1}.
Avaliação:
\bigl(-e^{-1}-e^{-1}\cdot 1\bigr)-\bigl(-e^{0}-e^{-1}\cdot 0\bigr) =(-e^{-1}-e^{-1})-(-1) = -2e^{-1}+1.
Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(e^{-x}-e^{-1}\bigr)\,dx=1-2e^{-1}.

Passo 7

Somar as duas contribuições para obter a área total:
\text{Área}=\left(\tfrac{1}{2}-e^{-1}\right)+\left(1-2e^{-1}\right) =\tfrac{3}{2}-3e^{-1}.Á
Podemos também escrever de outra forma equivalente:
\text{Área}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{e}.Á
Valor numérico aproximado (só para intuição): como e\approx 2{,}71828, tem-se
\text{Área}\approx 1{,}5-3\cdot 0{,}367879\approx 0{,}39636.Á

Passo 8

Pequena interpretação geométrica final: a região é uma “lanterna” com vértices em \bigl(-\tfrac{1}{2},e^{-1}\bigr), (0,1) e (1,e^{-1}), limitada por arcos das exponenciais por cima e pela reta horizontal y=e^{-1} por baixo. A integral feita calcula a soma das áreas verticais entre a reta e o arco superior, em cada pedaço.

Resposta

\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{e}

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