Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região do plano limitada simultaneamente pelas curvas dadas e calcular a área dessa região.
Informações fornecidas:
- As três curvas são
, e . - O objetivo é encontrar a região fechada que tem fronteira composta por partes dessas curvas e, em seguida, calcular a área dessa região.
(Pausa curta: a resolução começará a calcular interseções e a identificar qual curva forma cada parte da fronteira a seguir.)
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as curvas (isso nos dá os limites do domínio da região).
- Interseção entre
e . Igualando:
O valor de
em
é
. Logo um ponto de interseção é
.
- Interseção entre
e . Igualando:
O ponto é
.
- Interseção entre
e . Igualando:
O ponto é
.
Assim, as três interseções relevantes são
,
e
.
Passo 3
Entender como as curvas se posicionam entre
e
para saber qual é o limite superior e qual é o limite inferior da região.
- A reta horizontal
é constante e serve como limite inferior em parte da fronteira. - Para comparar
e : quando tem-se ; quando tem-se . Em ambas valem . - Nos extremos que encontramos: em
a curva toca (altura da região ali é zero); em a curva toca (altura também zero). Entre esses dois a região está “em pé” sobre a linha e limitada por uma das exponenciais por cima. - Mais precisamente:
- Para
temos , logo o teto da região (a curva superior mais baixa) é . - Para
temos , logo o teto da região é .
- Para
Portanto a região fechada tem projeção no eixo
igual ao intervalo
, com limite inferior
e limite superior dado por
Passo 4
Configurar a integral que dá a área. A área é a integral da altura vertical (teto menos piso) em relação a
. Como o teto muda em
, dividimos em duas integrais:
Explicação rápida de técnica usada (integral definida): para uma região entre curvas
(em cima) e
(em baixo) sobre um intervalo
, a área é
. Aqui aplicamos isso peça a peça.
Passo 5
Calcular a primeira integral
.
- Antiderivada de
é , porque . - Antiderivada de
(constante) é .
Assim
Avaliação:
Reescrevendo esse resultado de forma que fique claro:
(Antes de seguir: verificação rápida usando fator comum:
, corresponde ao cálculo.)
Passo 6
Calcular a segunda integral
.
- Antiderivada de
é , porque . - Antiderivada de
é .
Assim
Avaliação:
Portanto
Passo 7
Somar as duas contribuições para obter a área total:
Podemos também escrever de outra forma equivalente:
Valor numérico aproximado (só para intuição): como
, tem-se
Passo 8
Pequena interpretação geométrica final: a região é uma “lanterna” com vértices em
,
e
, limitada por arcos das exponenciais por cima e pela reta horizontal
por baixo. A integral feita calcula a soma das áreas verticais entre a reta e o arco superior, em cada pedaço.