Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é a função
e os limites de integração são
e
. Objetivo: obter um antiderivado (primitiva) de
e usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a diferença entre os valores desse antiderivado em
e em
.
Passo 2
Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática para integrais definidas):
se é uma primitiva de
(ou seja,
), então
se
Portanto precisamos achar uma primitiva
de
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
onde
e
são escolhidos de modo conveniente. Explico cada escolha quando for feita.
Passo 3
Escolha para a primeira integração por partes:
-
(assim ), -
(assim ).
Aplicando a fórmula:
Simplificando o sinal:
Agora resta calcular a integral
.
Passo 4
Fazemos integração por partes novamente para
.
Escolha:
Escolha:
-
(então ), -
(então ).
Aplicando a fórmula:
E
. Logo
Passo 5
Volta para a integral original usando o resultado do passo anterior:
Agrupando:
Assim uma primitiva é
Passo 6
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcule
e
:
Portanto
Passo 7
Resposta simplificada e comentário final: a integral vale
.\nSegue sendo um número positivo porque
e
, logo o resultado é cerca de
. Vai dar tudo certo na prova — você já fez a parte mais chata: achar a primitiva com partes repetidas.