Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
\int_{0}^{1} y^{2} e^{-y} d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} y^{2} e^{-y}\,dy.
Informações dadas: o integrando é a função y^{2}e^{-y} e os limites de integração são 0 e 1. Objetivo: obter um antiderivado (primitiva) de y^{2}e^{-y} e usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a diferença entre os valores desse antiderivado em 1 e em 0.

Passo 2

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática para integrais definidas):
se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Portanto precisamos achar uma primitiva F(y) de f(y)=y^{2}e^{-y}. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos de modo conveniente. Explico cada escolha quando for feita.

Passo 3

Escolha para a primeira integração por partes:
  • u = y^{2} (assim du = 2y\,dy),
  • dv = e^{-y}\,dy (assim v = \int e^{-y}\,dy = -e^{-y}).
Aplicando a fórmula:
\int y^{2} e^{-y}\,dy = uv - \int v\,du = -y^{2} e^{-y} - \int \big(-e^{-y}\big)\cdot 2y\,dy.
Simplificando o sinal:
\int y^{2} e^{-y}\,dy = -y^{2} e^{-y} + 2\int y e^{-y}\,dy.
Agora resta calcular a integral \int y e^{-y}\,dy.

Passo 4

Fazemos integração por partes novamente para \int y e^{-y}\,dy.
Escolha:
  • u = y (então du = dy),
  • dv = e^{-y}\,dy (então v = -e^{-y}).
Aplicando a fórmula:
\int y e^{-y}\,dy = uv - \int v\,du = -y e^{-y} - \int \big(-e^{-y}\big)\,dy = -y e^{-y} + \int e^{-y}\,dy.
E \int e^{-y}\,dy = -e^{-y}. Logo
\int y e^{-y}\,dy = -y e^{-y} - e^{-y} + C = -(y+1)e^{-y} + C.

Passo 5

Volta para a integral original usando o resultado do passo anterior:
\int y^{2} e^{-y}\,dy = -y^{2} e^{-y} + 2\big( -(y+1)e^{-y}\big) + C.
Agrupando:
\int y^{2} e^{-y}\,dy = -\big(y^{2}+2y+2\big)e^{-y} + C.
Assim uma primitiva é
F(y) = -\big(y^{2}+2y+2\big)e^{-y}.

Passo 6

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{1} y^{2} e^{-y}\,dy = F(1)-F(0).
Calcule F(1) e F(0):
F(1) = -\big(1^{2}+2\cdot1+2\big)e^{-1} = -5e^{-1} = -\frac{5}{e},
F(0) = -\big(0^{2}+2\cdot0+2\big)e^{0} = -2\cdot 1 = -2.
Portanto
\int_{0}^{1} y^{2} e^{-y}\,dy = \left(-\frac{5}{e}\right) - (-2) = 2 - \frac{5}{e}.

Passo 7

Resposta simplificada e comentário final: a integral vale \;2-\dfrac{5}{e}.\nSegue sendo um número positivo porque 2\approx2{,}0 e \dfrac{5}{e}\approx1{,}839, logo o resultado é cerca de 0{,}161. Vai dar tudo certo na prova — você já fez a parte mais chata: achar a primitiva com partes repetidas.

Resposta

2-\dfrac{5}{e}

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