Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
\int_{0}^{1} \frac{s+1}{\sqrt{4-s^{2}}} d s

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int_{0}^{1}\frac{s+1}{\sqrt{4-s^{2}}}\,ds.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{s+1}{\sqrt{4-s^{2}}}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Note que para todo s\in[0,1] temos 4-s^{2}>0, logo a raiz está bem definida e o integrando é contínuo em [0,1]. Portanto vale aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: basta encontrar uma primitiva do integrando e avaliá‑la em 1 e 0.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas parcelas mais simples:
\int_{0}^{1}\frac{s+1}{\sqrt{4-s^{2}}}\,ds =\int_{0}^{1}\frac{s}{\sqrt{4-s^{2}}}\,ds+\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{4-s^{2}}}\,ds.
A ideia é achar primitivas (antiderivadas) de cada termo e então usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Primitiva do primeiro termo \dfrac{s}{\sqrt{4-s^{2}}}.
Fazemos a substituição
u=4-s^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-2s\,ds.
Dessa igualdade segue que s\,ds=-\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int\frac{s}{\sqrt{4-s^{2}}}\,ds =\int\frac{s}{\sqrt{u}}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) =-\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.
Calcule a integral em u:
-\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du=-\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}=-u^{1/2} + C.
Voltando a s, obtemos a primitiva
\int\frac{s}{\sqrt{4-s^{2}}}\,ds=-\sqrt{4-s^{2}}+C.
(Verificação rápida: derivando -\sqrt{4-s^{2}} obtém‑se \dfrac{s}{\sqrt{4-s^{2}}}.)

Passo 4

Primitiva do segundo termo \dfrac{1}{\sqrt{4-s^{2}}}.
Usamos a fórmula padrão para a>0:
\int\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Aqui a=2. Aplicando a fórmula:
\int\frac{1}{\sqrt{4-s^{2}}}\,ds=\arcsin\!\left(\frac{s}{2}\right)+C.
(Para conferir: derive \arcsin(s/2). Tem-se \dfrac{1}{\sqrt{1-(s/2)^{2}}}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{4-s^{2}}}.)

Passo 5

Combinações das primitivas: uma primitiva para o integrando completo é
F(s)=-\sqrt{4-s^{2}}+\arcsin\!\left(\frac{s}{2}\right)+C.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}\frac{s+1}{\sqrt{4-s^{2}}}\,ds=F(1)-F(0).

Passo 6

Avaliação em s=1 e s=0.
Calcule F(1):
F(1)=-\sqrt{4-1}+\arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{3}+\arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right).
Calcule F(0):
F(0)=-\sqrt{4-0}+\arcsin\!\left(0\right)=-2+0=-2.
Portanto
F(1)-F(0)=\left(-\sqrt{3}+\arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right)\right)-(-2) =2-\sqrt{3}+\arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right).

Passo 7

Simplificação final: conhecemos o valor exato \arcsin\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}. Assim a integral vale
2-\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}.

Resposta

2-\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}

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