Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Note que para todo
temos , logo a raiz está bem definida e o integrando é contínuo em . Portanto vale aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: basta encontrar uma primitiva do integrando e avaliá‑la em e .
Passo 2
Vamos separar a integral em duas parcelas mais simples:
A ideia é achar primitivas (antiderivadas) de cada termo e então usar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 3
Primitiva do primeiro termo
.
Fazemos a substituição
Dessa igualdade segue que
. Assim
Calcule a integral em
:
Voltando a
, obtemos a primitiva
(Verificação rápida: derivando
obtém‑se
.)
Passo 4
Primitiva do segundo termo
.
Usamos a fórmula padrão para
:
Aqui
. Aplicando a fórmula:
(Para conferir: derive
. Tem-se
.)
Passo 5
Combinações das primitivas: uma primitiva para o integrando completo é
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Passo 6
Avaliação em
e
.
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
Passo 7
Simplificação final: conhecemos o valor exato
. Assim a integral vale