Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).
S=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x<\pi / 2,0 \leqslant y \leqslant \operatorname{sec} ^{2} x\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar a região S=\{(x,y)\mid 0\le x<\pi/2,\;0\le y\le \operatorname{sec}^{2}x\}.
  • Encontrar a área dessa região (se for finita).
Informações dadas pelo enunciado:
  • O intervalo de x é 0\le x<\pi/2 (ou seja, vai de 0 até, mas não incluindo, \pi/2).
  • A borda superior da região é a curva y=\operatorname{sec}^{2}x.
  • A borda inferior é a reta y=0.
  • Para cada x em [0,\pi/2), y varia entre 0 e \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Entendendo e esboçando a curva y=\operatorname{sec}^{2}x no intervalo dado:
  • Lembrete: \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, então \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}.
  • No ponto x=0 temos \cos 0=1, logo \operatorname{sec}^{2}0=1. Portanto a curva passa por (0,1).
  • Em x=\pi/4 temos \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então
\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{(\sqrt{2}/2)^{2}}=\frac{1}{1/2}=2.
  • À medida que x se aproxima de \pi/2 pela esquerda, \cos x\to 0^{+}, então \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\to +\infty. Assim x=\pi/2 é uma assíntota vertical da curva.
  • O esboço: desenhar os eixos x e y; marcar x=0 e x=\pi/2 (com x=\pi/2 como assíntota vertical). Traçar a curva que começa em (0,1), passa por (\pi/4,2) e cresce até +\infty quando x\to\pi/2^{-}. A região S é a região abaixo dessa curva e acima do eixo y=0, para 0\le x<\pi/2.

Passo 3

Interpretando a área pedida e escrevendo como integral:
  • A área de uma região entre y=0 e y=f(x) para a\le x\le b é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
  • Aqui f(x)=\operatorname{sec}^{2}x, a=0 e b=\pi/2. Mas atenção: o enunciado tem x<\pi/2, então a integral é imprópria por causa da divergência da função em x=\pi/2. Devemos então interpretar a área como o limite
\text{Área}=\lim_{b\to(\pi/2)^{-}}\int_{0}^{b}\operatorname{sec}^{2}x\,dx.Á
  • Explicando o que é integral imprópria: quando a função é não limitada num dos extremos do intervalo, calcula-se a integral no intervalo truncado [0,b] e depois toma-se o limite quando b vai até o ponto problemático ( \pi/2 aqui). Se esse limite for finito, a área é finita; se o limite for +\infty ou não existir, a área é infinita.

Passo 4

Calcular a integral indefinida de \operatorname{sec}^{2}x e avaliar o limite:
  • Fato básico de cálculo: a derivada da função \tan x é \dfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x. Isso significa que uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x.
  • Portanto, para 0\le x<b<\pi/2,
\int_{0}^{b}\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x\Big|_{0}^{b}=\tan b-\tan 0=\tan b-0=\tan b.
  • Agora tomamos o limite quando b\to(\pi/2)^{-}:
\lim_{b\to(\pi/2)^{-}}\tan b=+\infty,
pois \tan x cresce sem limite quando x se aproxima de \pi/2 pela esquerda.
  • Conclusão: o limite que define a área diverge para +\infty. Logo a área da região S não é finita.

Passo 5

Checagem intuitiva (controle de consistência):
  • Próximo de x=\pi/2, coloque t=\pi/2-x pequeno e positivo. Para t pequeno tem \cos x=\cos(\pi/2-t)=\sin t\approx t. Então
\operatorname{sec}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}\approx\frac{1}{t^{2}},
e a integral perto da singularidade tem comportamento parecido com \int_{0} \frac{1}{t^{2}}\,dt, que diverge (gera algo como 1/t que vai a +\infty quando t\to 0^{+}). Isso confirma a conclusão anterior de que a área é infinita.
  • Observação incentivadora: é comum em provas cair uma região com limite vertical assim — a técnica é sempre escrever a integral imprópria e ver se o limite converge. Aqui não converge, então a resposta é “área infinita”.

Resposta

\text{Área}(S)=+\inftyÁ

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