Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
y^{\prime}+y \operatorname{tg} x=\operatorname{sec} x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y'+y\operatorname{tg}x=\operatorname{sec} x,
e pede a solução geral y(x). Informações dadas e o que é pedido:
A equação é de primeira ordem e linear em y.
Os termos trigonométricos usam \operatorname{tg}x (tangente) e \operatorname{sec} x (secante).
Deve-se encontrar a família de soluções y(x) válidas em intervalos onde tudo faz sentido (ou seja, onde \cos x\neq0, já que \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}).
Passo 2
Reconhecendo o tipo de equação e a estratégia:
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão
y'+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x. Aqui P(x)=\operatorname{tg}x e Q(x)=\operatorname{sec} x.
O método padrão é usar o fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Explicação breve: multiplicando a equação pela \mu(x) adequada transforma o lado esquerdo em uma derivada exata de \mu(x)y, permitindo integrar facilmente. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o fator integrante \mu(x):
Primeiro calculo a integral de P(x)=\operatorname{tg}x. Lembrando que \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e que
\int \operatorname{tg}x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\ln\big|\cos x\big| + C.
(Explicação: fazer a substituição u=\cos x dá du=-\sin x\,dx, daí a integral é -\int du/u=-\ln|u|.)
onde C é a constante de integração. (Recorde: \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^2 x.)
Passo 6
Isolar y e simplificar:
y=\cos x\;(\operatorname{tg}x + C).
Agora uso \cos x\operatorname{tg}x=\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x. Assim
y=\sin x + C\cos x,
onde C é constante arbitrária real. Esta é a solução geral válida em qualquer intervalo onde \cos x\neq0 (ou seja, entre pontos singulares x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).
Passo 7
Verificação rápida (sanidade): posso derivar y e substituir na equação original para checar:
y'=\cos x - C\sin x.
y'+y\operatorname{tg}x = (\cos x - C\sin x) + (\sin x + C\cos x)\operatorname{tg}x.
Usando \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e simplificando obtém-se \operatorname{sec} x. Isso confirma que a solução está correta.
Resposta
y=\sin x + C\cos x,\quad C\in\mathbb{R} (válida para x tais que \cos x\neq0).