Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
y^{\prime}+y \operatorname{tg} x=\operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'+y\operatorname{tg}x=\operatorname{sec} x,
e pede a solução geral y(x). Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação é de primeira ordem e linear em y.
  • Os termos trigonométricos usam \operatorname{tg}x (tangente) e \operatorname{sec} x (secante).
  • Deve-se encontrar a família de soluções y(x) válidas em intervalos onde tudo faz sentido (ou seja, onde \cos x\neq0, já que \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}).

Passo 2

Reconhecendo o tipo de equação e a estratégia:
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão
y'+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x. Aqui P(x)=\operatorname{tg}x e Q(x)=\operatorname{sec} x.
  • O método padrão é usar o fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Explicação breve: multiplicando a equação pela \mu(x) adequada transforma o lado esquerdo em uma derivada exata de \mu(x)y, permitindo integrar facilmente. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
  • Primeiro calculo a integral de P(x)=\operatorname{tg}x. Lembrando que \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e que
\int \operatorname{tg}x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\ln\big|\cos x\big| + C.
(Explicação: fazer a substituição u=\cos x du=-\sin x\,dx, daí a integral é -\int du/u=-\ln|u|.)
  • Assim
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \operatorname{tg}x\,dx\Big)=\exp\big(-\ln\big|\cos x\big|\big).
Usando a propriedade \exp(\ln a)=a (para a>0), obtemos
\mu(x)=\frac{1}{\big|\cos x\big|}.
Como o fator integrante pode ser tomado sem o valor absoluto escolhendo um intervalo onde \cos x tem sinal fixo, para simplificar tomo
\mu(x)=\operatorname{sec} x,
ou seja \mu(x)=\dfrac{1}{\cos x}. Observação: isto exige trabalhar em um intervalo onde \cos x\neq0.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=\operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x\,y' + \operatorname{sec} x\,\operatorname{tg}x\,y = \operatorname{sec} x\cdot\operatorname{sec} x = \operatorname{sec}^2 x.
Agora noto que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \operatorname{sec} x\cdot y. Para ver isso, uso a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\cdot y\big)=\operatorname{sec} x\,y' + (\operatorname{sec} x)'\,y.
E (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\operatorname{tg}x. Portanto
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\cdot y\big)=\operatorname{sec} x\,y' + \operatorname{sec} x\operatorname{tg}x\,y,
que coincide com o lado esquerdo.

Passo 5

Integrar ambos os lados:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\cdot y\big)=\operatorname{sec}^2 x
integro em x:
\operatorname{sec} x\cdot y=\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \operatorname{tg}x + C,
onde C é a constante de integração. (Recorde: \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^2 x.)

Passo 6

Isolar y e simplificar:
y=\cos x\;(\operatorname{tg}x + C).
Agora uso \cos x\operatorname{tg}x=\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x. Assim
y=\sin x + C\cos x,
onde C é constante arbitrária real. Esta é a solução geral válida em qualquer intervalo onde \cos x\neq0 (ou seja, entre pontos singulares x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).

Passo 7

Verificação rápida (sanidade): posso derivar y e substituir na equação original para checar:
  • y'=\cos x - C\sin x.
  • y'+y\operatorname{tg}x = (\cos x - C\sin x) + (\sin x + C\cos x)\operatorname{tg}x.
    Usando \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e simplificando obtém-se \operatorname{sec} x. Isso confirma que a solução está correta.

Resposta

y=\sin x + C\cos x,\quad C\in\mathbb{R} (válida para x tais que \cos x\neq0).

Exercícios relacionados